《偏微分方程概论》

第一章 偏微分方程的经典理论1

1 偏微分方程的一般概念1

1.概念、记号1

2.与常微分方程的比较3

2 一阶拟线性方程的几何理论5

1.特征线6

2.Cauchy问题7

3.n个自变量的情形10

3 一阶非线性方程的几何理论14

1.Monge锥、特征带14

2.Cauchy问题18

3.Hamilton-Jacobj方程21

1.弱间断27

4 特征理论27

2.二阶方程的特征理论28

3.高阶方程与方程组的特征理论32

4.双特征、间断的传播38

5 Cauchy-KoBaЛeBCKaЯ定理42

1.Cauchy-KOBaЛeBCKaЯ方程组42

2.Cauchy-KobaЛeBCKaЯ定理的证明46

3.附注52

6 Holmgren定理56

1.Holmgren定理56

2.应用60

7 适定性62

1.适定性概念62

2.不适定问题的例子64

1.引言69

第二章 广义函数与Fourier变换69

1 基本空间69

2.基本空间C∞(Rn)，C？(Rn)73

3.函数的正则化、平均算子75

4.基本空间？(Rn)79

2 广义函数空间83

1. ？′(Rn)，？′(Rn)，？′(Rn)广义函数83

2.广义函数的支集87

3.广义函数的极限90

3 广义函数的运算94

1.广义函数的导数94

2.广义函数的乘子97

3.广义函数的自变量变换98

5.广义函数的卷积100

4.广义函数视为连续函数的导数100

4 Fourier变换112

1.？(Rn)空间上的Fourier变换112

2.？′(Rn)空间上的Fourier变换116

3.紧支集广义函数的Fourier变换122

5 CoбoЛeB空间127

1.整指数CoбoЛeB空间127

2.实指数CoбoЛeB空间133

3.嵌入定理138

4.迹定理140

6 周期广义函数144

1.基本空间C∞(Tn)与广义函数空间？′(Tn)144

2.空间H？(Tn)147

1.基本解的概念153

7 基本解153

2.乘积空间中的广义函数155

3.偏微方程的基本解162

4.基本解在解的定性研究中的应用168

5.Cauchy问题的基本解170

第三章 椭圆型方程175

1 周期区域上的椭圆型方程175

1.Càrding不等式176

2.第二基本不等式181

3.正则性定理184

4.两择性定理186

2 高阶椭圆型方程的Dirchlet问题190

1.问题的提法190

2.Lax-Milgram定理198

3.Dirichlet问题解的两择性定理199

3 椭圆型方程解的正则性206

1.内正则性206

2.Banach-Saks定理210

3.边界正则性定理，一些准备213

4.边界正则性定理的证明219

第四章 对称双曲组与正对称组227

1 对称双曲组227

1.对称双曲组227

2.强解与弱解231

4.对称双曲组Cauchy问题的能量不等式234

4.初边值问题的情形240

5.对称双曲组Cauchy问题解的存在性242

1.正对称型方程组与合格边界条件247

2 正对称型方程组247

2.强解唯一性与弱解的存在性254

3 强解与弱解的一致性257

1.问题的演化257

2.内部区域强弱解的一致性264

3.边界区域强弱解的一致性(非特征情形)266

4.边界区域强弱解的一致性(正则特征情形)275

5.边界有角点的情形279

4 正对称型方程组理论的应用284

1.二阶自共轭椭圆型方程285

2.Tricomi方程287

3.Busemann方程291

1 拟微分算子的定义299

1.定义299

第五章 拟微分算子299

2.讨论对象的扩充303

3.恰当支拟微分算子309

2 象征的渐近展开313

1.渐近展开313

2.恰当支拟微分算子的象征319

3 拟微分算子的运算与性质324

1.转置与复合324

2.拟微分算子代数328

3.自变量的坐标变换331

4.关于连续性的讨论335

4 拟微分算子的一些应用339

1.拟逆、准椭圆性339

2.Gàrding不等式343

3.严格双曲型方程的Cauchy问题348

参考文献359