《线性偏微分方程引论》

第一章广义函数1

1 Lp 空间1

1.1 Lp 空间的定义和基本性质1

1.2 卷积3

1.3 单位分解10

2 基本空间12

2.1 基本空间?(Ω)和?(Ω)12

2.2 基本空间?14

2.3 稠密性和完备性17

3 广义函数空间18

3.1 广义函数的定义18

3.2 广义函数的导数20

3.3 广义函数的极限22

3.4 广义函数的乘子与缓增广义函数24

3.5 广义函数的支集与具紧支集的广义函数27

4 广义函数的卷积30

4.1 函数和广义函数的卷积30

4.2 两个广义函数的卷积33

5 广义函数的 Fourier 变换36

5.1 急减函数的 Fourier 变换37

5.2 缓增广义函数的 Fourier 变换41

5.3 具紧支集的广义函数的 Fourier 变换44

5.4 L2(Rn) 上的 Fourier 变换44

6 常系数偏微分算子的基本解48

6.1 基本解的存在性48

6.2 几个典型的数学物理方程的基本解52

1 整指数 Sobolev 空间58

1.1 非负整指数 Sobolev 空间58

第二章Sobolev 空间58

1.2 负整指数 Sobolev 空间60

1.3 Poincare 不等式与等价范数62

1.4 可延拓的有界区域64

2 实指数 Sobolev 空间65

2.1 定义65

2.2 对偶性67

2.3 乘积运算70

3 嵌入定理73

1 二阶椭圆型方程的 Dirichlet 问题78

1.1 Dirichlet 问题的广义解的定义78

第三章二阶线性偏微分方程78

1.2 Lax-Milgram 定理80

1.3 Garding 不等式85

1.4 Dirichlet 问题的可解性86

1.5 广义解的正则性88

2 C0 半群96

2.1 C0 半群的定义97

2.2 无穷小生成元98

2.3 Hille-Yosida 定理100

2.4 发展方程的 Cauchy 问题105

3 二阶抛物型方程的混合问题107

4 二阶双曲型方程的混合问题108

第四章拟微分算子的基本理论113

1 拟微分算子的定义113

2 振荡积分与拟微分算子的基本性质118

2.1 振荡积分118

2.2 拟微分算子的基本性质120

2.3 适当支拟微分算子129

3 拟微分算子的代数132

3.1 象征的渐近展开132

3.2 拟微分算子的复合143

3.3 拟微分算子的代数147

4 有界性定理与 Garding 不等式149

5 一类拟微分算子157

第五章拟微分算子的应用159

1 拟基本解159

1.1 拟基本解的定义159

1.2 椭圆型拟微分算子的拟基本解159

1.3 椭圆型拟微分算子的内正则性162

2 强椭圆型方程的 Dirichlet 问题163

2.2 强椭圆型方程的 Dirichlet 问题的可解性164

2.1 强椭圆型偏微分算子的定义164

2.3 广义解的正则性166

3 抛物型方程的混合问题168

4 严格双曲型方程的 Cauchy 问题169

4.1 严格双曲型算子的定义169

4.2 化为一阶方程组171

4.3 能量不等式173

4.4 Fichera 定理176

4.5 Cauchy 问题的解的存在性、 唯一性和正则性178

参考书目182