《一般线性偏微分方程》求取 ⇩

第1章 广义函数1

1.1. 检试函数空间1

1.1.1. 空间？1

1.1.2. 空间？及？6

1.1.3. 空间？9

1.2. 广义函数空间15

1.2.1. 广义函数的定义15

1.2.2. 广义函数的唯一确定 单位分解17

1.2.3. 正规化问题22

1.2.4. 代数运算及坐标变换25

1.3. 广义函数的分析运算29

1.3.1. 收敛定义及完备性29

1.3.2. 微分运算33

1.4. 广义函数的结构37

1.4.1. 广义函数的局部结构37

1.4.2. 广义函数的全局结构39

1.4.3. 紧台广义函数的结构41

1.4.4. 缓增广义函数的结构44

1.5. Fourier变换与卷积46

1.5.1. 广义函数的Fourier变换46

1.5.2. 卷积51

1.6. 附录56

1.6.1 Carleman定理56

1.6.2 空间Sβα(α，β>0，α+β≥1)的非平凡性63

第2章 拟微分算子70

2.1. 振荡积分70

2.1.1. 定义及正规化70

2.1.2. 由振荡积分确定的广义函数74

2.2. Fourier积分算子76

2.2.1. 位相及振幅76

2.2.2. 奇台的变化78

2.2.3. 拟微分算子81

2.3. 拟微分算子代数82

2.3.1. 适拟微分算子82

2.3.2. 适ψDO的符征85

2.3.3. 符征的渐近展式86

2.3.4. 振幅与符征91

2.3.5. 转置与合成94

2.4. 有界性定理98

2.4.1. 基本有界性定理98

2.4.2. 紧性定理101

2.5. 解析符征情形103

2.5.1. 基本空间H∞(SA)104

2.5.2. 广义函数空间H-∞(SA)108

2.5.3. 解析符征111

2.6. 波锋集116

2.6.1. 广义函数的波锋集116

2.6.2. 奇性的传播121

第3章 解的存在性问题128

3.1. 常系数情形128

3.1.1. 台阶积分法128

3.1.2. 泛函延拓法132

3.2. 常系数主型算子137

3.2.1. 算子的强弱比较137

3.2.2. 主型算子142

3.3. 变系数规范主型算子145

3.3.1. 必要条件145

3.3.2. 充分条件157

3.4. 局部可解性问题163

3.4.1. 空间HS163

3.4.2. 局部可解性167

3.4.3. 无穷阶微分方程172

3.5. 无解方程174

3.5.1. 局部可解性的必要条件174

3.5.2. 无解方程179

3.6. 附录184

3.6.1. 局部凸空间184

3.6.2. 对偶空间187

3.6.3. 双线性映射与核分布190

第4章 解的光滑性问题195

4.1. 常系数亚椭圆算子195

4.1.1. 基本解的性质195

4.1.2. 亚椭圆性的判定准则198

4.2. 常系数其它情形209

4.2.1. 方程组209

4.2.2. 部分亚椭圆性212

4.2.3. 条件光滑性216

4.3. 变系数亚椭圆算子218

4.3.1. 初步考察218

4.3.2. 拟微分算子情形220

4.4. 附录224

4.4.1. Seidenberg定理的叙述及n=1时的证明224

4.4.2. n=2的情形228

4.4.3. 一般情形234

4.4.4. Puiseux展式236

第5章 解的结构问题245

5.1. 有界域情形245

5.1.1. 预备性讨论245

5.1.2. 解的结构247

5.2. 全空间情形250

5.2.1. ？(Rn)中的解250

5.2.2. ？F(Rn)中的解253

5.2.3. ？(Rn)中的解255

5.3. 解析情形258

5.3.1. 解析解258

5.3.2. 一些推论264

第6章 适定定解问题268

6.1. 有界域情形268

6.1.1. 预备性讨论268

6.1.2. 适定定解问题的存在性271

6.2. 初值问题275

6.2.1. 方程组情形275

6.2.2. 高阶方程情形282

6.2.3. 无限阶方程情形286

6.3. 混合问题294

6.3.1. 基本定理294

6.3.2. 几个例子300

6.3.3. 另一处理途径302

6.4. 边值问题305

6.4.1. 无限阶算子的某些应用305

6.4.2. 预备性讨论308

6.4.3. 基本定理312