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第一部分 一般解法1

第一章 线性与拟线性微分方程1

1.引言1

1.1. 一般概念.记号及术语1

1.2. 解的性态预述3

2.两个自变量的齐次线性方程：f(x,y)p+g(x,y)q=04

2.1. 几何解释4

2.2. 关于积分和等高线的注记5

2.3. 特征线与积分曲面8

2.4. 利用特征线求方程的解10

某些记号与缩写11

2.5. 借助于特征方程的组合求解方程11

2.6. 特殊情况：p+f(x,y)q=013

10.2. 一般存在定理.柯西特征方法17

2.7. 函数相关性和雅可比行列式(附录)18

2.8. 主积分.存在定理.柯西问题24

2.9. 关于利用级数展开的注记26

2.10. 解法概述27

3. 一般的n个自变量的齐次线性方程：？fv(r)pv=027

3.1. 定义和注记27

3.2. 特征线与积分曲面28

3.3. 借助于特征方程的组合求解方程29

3.4. 积分的基本组.柯西问题30

3.5. 特积分已知时方程的简化32

3.6. 特殊情况：p+？fv(x,y)qv=035

3.7. 积分的存在.柯西问题的解39

3.8. 雅可比乘子40

3.9. 其它注记43

3.10. 解法概述43

4.2. 化一般线性方程为齐次线性方程44

4.1. 定义44

4. 一般线性方程：？fv(r)pv+fo(r)z=f(r)44

4.3. 存在性与唯一性定理46

4.4. 哈尔不等式47

4.5. n=2的情况(补充定理)48

5.1. 几何解释50

5. 拟线性方程：？fv(r,z)pv=g(r,z)50

5.2. 特征线与积分曲面51

5.3. 利用积分曲面的几何特性求解微分方程的例子52

5.4. 化拟线性方程为齐次线性方程56

5.5. 特殊情况：p+？fv(x,y,z)qv=g(x,y,z)58

5.6. 柯西问题的解61

5.7. 展成幂级数求解63

5.8. 解法概述63

6. 线性方程组64

6.1. 特殊情况：pv=fv(r),(v=1,…,n)64

6.2. 一般线性方程组：定义和记号65

6.3. 对合组与完全组68

6.4. 解雅可比组的梅耶方法70

6.5. 完全组的性质72

6.6. 齐次组73

6.7. 齐次组的简化76

6.8. 一般方程组的简化81

6.9. 解法概述82

7. 拟线性方程组83

7.1. 特殊情况83

7.2. 一般拟线性方程组85

8.1. 方程的几何解释87

8. 一般概念、记号及术语87

第二章 两个自变量的非线性微分方程87

8.2. 特征(条)的几何解释89

8.3. 条形的定义91

8.4. 特征方程组的导出91

8.5. 推导特征方程组的其它方法93

8.6. 正常面元素.奇异面元素97

8.7. 特征条.积分条与积分曲面98

8.8. 特积分.奇积分.全积分.通积分99

9. 拉格朗日方法101

9.1. 首次积分101

9.2. 由两个非显见的首次积分求全积分104

9.3. 由一个非显见的首次积分求全积分107

9.4. 由两个非显见的首次积分求单参数积分族109

9.5. 由一个全积分求其它积分110

9.6. 通过已给定的初始条形的积分曲面(柯西问题)112

10. 存在定理和某些其它解法115

10.1. 正规柯西问题115

10.3. 特殊情况：p=f(x,y,z,q)119

10.4. 解析函数情况下用幂级数求解121

10.5. 用更一般的级数求解122

10.6. 不等式与估值126

10.7. 解法概述126

11.2. F(v,q)=0127

11. 两个自变量的特殊形状的非线性方程的解法127

11.1. F(x,y,z,p)=0或F(x,y,z,q)=0127

11.3. F(z,p,q)=0129

11.4. p=f(x,q)或q=g(y,p)130

11.5. f(x,p)=g(y,q)与F［f(x,pψ(z)),g(y,qψ(z))］=0130

11.6. f(x,p)+g(y,q)=z130

11.7. p=f(？,q),F(？,p,q,xp+yq-z)=0131

11.8. F(xp+yq,z,p,q)=0131

11.9. p2+q2=f(x2+y2,yp-xq)131

11.10. F［f(x)p,g(y)q,z］=0132

11.11. f(p,q)=xp+yq；f关于p及q是齐次的133

11.12. z=xp+yq+f(p,q)与F(p,q,z-xp-yq)=0.克莱罗方程134

11.13. F(x,y,p,q)=0136

11.14. F(x,y,z,p,q)=0.勒让德变换137

11.15. F(x,y,z,p,q)=0.欧拉变换138

11.16. F(xp-z,y,p,q)=0139

11.17. xf(y,p,xp-z)+qg(y,p,xp-z)=h(y,p,xp-z)139

11.18 qf(u)=xp-yq,xqf(u)=xp-yq,xf(u,p,q)+yg(u,p,q)=h(u,p,q),其中u=xp+yq-z140

第三章 n个自变量的非线性微分方程与方程组141

12.n个自变量的非线性方程：F(r,z,p)=0141

12.1. 一般概念.记号及术语141

12.2. 特征条形与积分曲面143

12.3. 化方程为仅含有未知函数的导数的方程145

12.4. 在解析函数情况下用幂级数求解147

12.5. 一般存在定理.柯西特征方法147

12.6. 显式微分方程的解的存在性与唯一性定理.存在区域的估计150

12.7. 全积分的存在定理.由全积分求其它的积分152

12.8. 雅可比解法155

12.9. 特殊情况：p=f(x,y,q)156

12.10. 在力学中的应用158

12.11. 不等式与估计161

13. n个自变量的特殊形状的非线性方程的解法162

13.1. F(p)=0162

13.3. F［f1(x1,p1ψ(z)),…，fn(xn,pnψ(z))］=0.可分离变量方程163

13.2. F(z,p)=0163

13.4. 齐次方程164

13.5. F(r,z,p)=0.勒让德变换165

13.6. ？pvfv=？xvfv-fn+1,其中1≤k≤n,fv=fv(x1，…，xk-1,pk,…，pn,？xvpv-z)166

13.7. z=x1p1+…+xnpn+f(p1，…，pn).克莱罗方程167

14. 非线性方程组167

14.1. 显式方程组.可积性条件167

14.2. 解析函数范围内雅可比组的解的存在与唯一性定理168

14.3. 雅可比组在实函数范围内的解的存在与唯一性定理.用梅耶变换化雅可比组为一个方程168

14.4. 雅可比括号.泊松括号171

14.5. 一般非线性方程组172

14.6. 对合组与完全组173

14.7. 不依赖于z的对合组的雅可比解法174

14.8. 勒让德变换的应用177

14.9. 一般方程组的雅可比解法179

第二部分 各种微分方程183

引言183

第一章 仅含一个偏导数的微分方程185

第二章 两个自变量的线性与拟线性微分方程187

1-12. f(x,y)p+g(x,y)q=0187

13-19. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y)192

20-31. f(x,y)p+g(x,y)q=h1(x,y)z+ho(x,y)194

32-43. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y,z)198

44-59. f(x,y,z)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z是线性的203

60-65. f(x,y,x)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z不高于二次209

66-71. 其它拟线性方程210

第三章 三个自变量的线性与拟线性微分方程213

1-19. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)w,+h(x,y,z)wz=0,函数f,g,h的次数不超过1213

1-6. 单项系数213

7-11. 二项系数214

12-19. 三项系数215

20-41. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0，函数f,g,h的次数不超过2220

20-27. 单项系数220

28-38. 二项系数221

42-59. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0,其它情况223

39-41. 三项系数223

60-64. 一般线性与拟线性微分方程230

第四章 四个和更多个自变量的线性与拟线性微分方程233

第五章 线性与拟线性微分方程组240

1-2. 两个自变量240

3-9. 三个自变量241

10-17. 四个自变量，两个方程244

18-23. 四个自变量，三个方程247

24-29. 五个自变量，两个方程250

30-32. 五个自变量，三个或四个方程254

33-36. 其它方程组255

1-13. ap2+…259

第六章 两个自变量的非线性微分方程259

14-20. f(x,y,z)p2+…262

21-33. apq+…265

34-42. f(x,y)pq+…269

43-48. f(z)pq+…276

49-54. (··)p2+(··)pq+…277

55-68. ap2+bq2=f(x,y),f(x,y,z)279

69-74. f(x,y)p2+g(x,y)q2+h(x,y,z)284

75-80. f(x,y,z)p2+g(x,y,z)q2=h(x,y,z)289

81-88. (··)p2+(··)q2+(··)p+(··)q+291

89-111. (··)p2+(··)q2+(··)pq+…294

112-127. 关于p,q为三次与四次的方程304

128-139. 其它非线性方程307

第七章 三个自变量的非线性微分方程311

1-7. 含有一个或两个导数二次项的方程311

8-14. 含有多于两个导数二次项且有常系数的方程313

15-21. 含有导数二次项的其它方程315

22-31. 含有更高次导数的方程318

第八章 多于三个自变量的非线性微分方程322

第九章 非线性微分方程组329

参考文献中采用的缩写333

部分外国人姓氏中外文对照表336

索引337