《二阶椭圆型偏微分方程》求取 ⇩

第一章 引论1

第一部分 线性方程14

第二章 Laplace方程14

2.1. 平均值不等式14

2.2. 极大值和极小值原理16

2.3. Harnack不等式17

2.4. Green表示18

2.5. Poisson积分20

2.6. 收敛性定理22

2.7. 导数的内估计23

2.8. Dirichlet问题；下调和函数方法24

习题29

第三章 古典极大值原理31

3.1. 弱极大值原理32

3.2. 强极大值原理34

3.3. 先验的界36

3.4. Poisson方程的梯度估计38

3.5. Harnack不等式42

3.6. 散度形式的算子46

评注48

习题49

第四章 Poisson方程和Newton位势52

4.1.Holder连续性52

4.2. Poisson方程的Dirichlet问题55

4.3. 二阶导数的Holder估计57

4.4. 在边界上的估计64

习题68

评注68

第五章 Banach空间和Hilbert空间70

5.1. 压缩映象原理71

5.2. 连续性方法71

5.3. Fredholm二择一性质72

5.4. 对偶空间和共轭76

5.5. Hilbert空间77

5.6. 投影定理78

5.7. Riesz表示定理79

5.8. Lax-Milgram定理80

5.9. Hilbert空间中的Fredholm二择一性质81

5.10. 弱紧性82

评注83

习题83

第六章 古典解；Schauder方法84

6.1. Schauder内估计86

6.2. 边界估计和全局估计91

6.3. Dirichlet问题97

6.4. 内部正则性和边界正则性107

6.5. 另一种方法111

6.6. 非一致椭圆型方程115

6.7. 其它边界条件；斜导数问题120

6.8. 附录1：内插不等式130

6.9. 附录2：延拓引理136

评注139

习题142

第七章 Sobolev空间144

7.1. Lp空间145

7.2. 正则化和用光滑函数逼近147

7.3. 弱导数149

7.4. 链式法则151

7.5. Wk,p空间153

7.6. 稠密性定理154

7.7. 嵌入定理155

7.8. 位势估计和嵌入定理158

7.9. Morrey和John-Nirenberg估计163

7.10. 紧性结果165

7.11. 差商167

评注168

习题169

第八章 广义解和正则性171

8.1. 弱极大值原理173

8.2. Dirichlet问题的可解性176

8.3. 弱解的可微性178

8.4. 全局正则性181

8.5. 弱解的全局有界性183

8.6. 弱解的局部性质189

8.7. 强极大值原理193

8.8. Harnack不等式194

8.9. Holder连续性195

8.10. 在边界处的局部估计197

评注202

习题205

第二部分 拟线性方程208

第九章 极大值原理和比较原理208

9.1. 一个极大值原理211

9.2. 比较原理212

9.3. 一个进一步的极大值原理213

9.4. 一个反例214

9.5. 散度形式算子的比较原理215

9.6. 散度形式算子的极大值原理217

习题223

评注223

第十章 拓扑不动点定理及其应用224

10.1. Schauder不动点定理224

10.2. Leray-Schander定理：一个特殊情形225

10.3. 一个应用227

10.4. Leray-Schauder不动点定理231

10.6. 附录：Brouwer不动点定理237

10.5. 变分问题239

评注241

第十一章 两个变量的方程242

11.1. 拟保角映射242

11.2. 线性方程梯度的Holder估计248

11.3. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题252

11.4. 非一致椭圆型方程257

评注264

习题266

第十二章 梯度的Holder估计268

12.1. 散度形式的方程268

12.2. 两个变量的方程272

12.3. 一般形式的方程；内估计273

12.4. 一般形式的方程；边界估计277

12.5. 对Dirichlet问题的应用280

评注281

第十三章 边界梯度估计282

13.1. 一般区域284

13.2. 凸区域286

13.3. 边界曲率条件290

13.4. 非存在性结果295

13.5. 连续性估计301

评注302

习题303

第十四章 全局估计和梯度内估计304

14.1. 梯度的极大值原理304

14.2. 一般情形307

14.3. 梯度的内估计314

14.4. 散度形式的方程318

14.5. 存在定理选讲325

14.6. 连续边值的存在定理329

评注330

习题331

第十五章 平均曲率型方程333

15.1. Rn+1中的超曲面333

15.2. 梯度的内估计344

15.3. 在Dirichlet问题中的应用349

15.4. 两个自变量的方程352

15.5. 拟保角映射355

15.6. 具有拟保角Gauss映射的图象364

15.7. 对平均曲率型方程的应用371

15.8. 附录：椭圆参数泛函375

评注378

习题380

附录：边界曲率和距离函数382

参考书目385

内容索引396

记号索引402