《论二阶混合型线性偏微分方程》求取 ⇩

引言1

俄译本译者序言5

第一章 化混合型方程为标准形式5

1.1 两个独立变数的二阶线性偏微分方程分类5

1.2 化混合型方程为标准形式的第一个步骤7

1.3 化混合型方程为标准形式的第二个步骤8

1.4 公混合型方程为标准形式的第二个步骤10

1.5 标准形方程特徵线的研究12

1.6 标准形方程的退缩椭圆型方程和退缩双曲型方程13

1.7 方程(E)15

第二章 唯一性定理17

2.1 定理的陈述及在双曲半平面内方程(E)的解z(x,y)通过？(x)=z(x,0)和v(x)=(？z/?y)v=0的表达式17

2.2 于已给函数？(x)和v(x),解z的唯一性20

2.3 于已给函数？(x)和v(x),解z的唯一性24

2.4 函数？和v与z在一特徵线上的数值之间基本关系式的推导26

2.5 函数？和v与z在一特徵线上的数值之间基本关系式的推导28

2.6 某个定积分的符号的研究30

2.7 唯一性定理的证明34

第三章 方程(E)的某几类特殊解的研究36

3.1 由函数X(x)和函数Y(y)的乘积所构成的特殊解36

3.2 用级数和定积分求出函数Y所适合的微分方程的积分37

3.3 由上述特解所构成的级数42

3.4 化方程(E)的退缩椭圆方程为极坐标Υ和θ，并且寻求由函数R(r)和T(θ)的乘积所构成的特解46

3.5 藉助Gegenbauer的广义球函数Cvn表示函数T49

3.6 关于函数Cvn的基本公式51

第四章 对于椭圆半平面中的闭曲线的存在性定理54

4.1 界线和x轴不相交的准备情况54

4.2 确定方程(E1)的基本解57

4.3 方程(E1)的格林公式59

4.4 哈纳克定理的推广61

4.5 对于一个特殊界线存在性定理的陈述63

4.6 方程(E)在x轴的线段上取已给值的解的结构64

4.7 在某“典型曲线”上取已给值的解的结构与在第4.5节中所陈述的存在性定理的证明68

4.8 在§4.7 中所得到的解的讨论71

4.9 可以用来证明§4.5中的定理的另一方法的简述74

4.10 施瓦茨的交替法对方程(E)的应用性75

4.11 §4.5 中存在性定理的推广79

第五章 一般的存在性定理：并且将它化为积分方程81

5.1 存在性定理的陈述及其证明的梗概81

5.2 勒鲁(Le Roux)的特殊解83

5.3 函数？(x),v(x)及z在曲线？上的数值之间的基本关系式的推导86

5.4 函数？(x),v(x)及z在曲线？上的数值之间的基本关系式的推导89

5.5 关于函数f1(x)的讨论92

5.6 基本关系式的变形与存在性定理的证明所依归的混合型积分方程的推导96

第六章 存在性定理的证明所依归的积分方程的变形100

6.1 前章中所得到的积分方程的初步变形100

6.2 关于函数Ψ＇1(x)和Ψ″1(x)的讨论102

6.3 关于函数Ψ＇1(x)和Ψ″1(x)的讨论104

6.4 关于函数Ψ＇1(x)和Ψ″1(x)的讨论106

6.5 §6.1中的方程进一步的变形111

6.6 关于反常积分的歌西主值的概念113

6.7 将§6.1 中的方程化为一个第二类的奇异弗雷德伙尔姆方程119

第七章 前一章中所获得的积分方程的反演122

7.1 叠核和结式的计算122

7.2 反演公式之推导124

7.3 决定这积分方程的一切例外解128

7.4 决定这积分方程的一切例外解131

7.5 藉助于未知的辅助函数X(x)来表示v(x)139

7.6 X(x)所适合的正则积分方程的推导，以及这方程的反演143

7.7 函数v(x)和？(x)的计算148

7.8 当指定的混合边界是典型边界时，函数v(x)的详细研究150

附录一.方程(E)的进一步研究154

1.方程(E)的唯一性定理的证明的补充154

2.方程(E)解的孤立奇异点161

附录二.再论方程y?2z/?x2+?2z/?y2=0164

附录三.论方程y?2z/?x2+?2z/?y2=0169

参考文献171