《非线性偏微分方程 上》求取 ⇩

第一篇非线性椭圆型方程1

第一章拓扑度理论及其应用1

1.1非线性算子的一些基本概念1

1.1.1 有界性与连续性1

1.1.2 导算子与微分7

1.2隐函数定理与方程的分支解18

1.2.1 隐函数定理18

1.2.2 分支定理21

1.3有限维空间映射的拓扑度（Brouwer度）25

1.3.1 C1映射的拓扑度25

1.3.2 Brouwer度的积分表达式32

1.3.3 P是临界值的情形34

1.3.4 连续映射的拓扑度41

1.4Leray-Schauder度47

1.4.1 全连续算子47

1.4.2 Leray-Schauder度的定义51

1.4.3 Leray-Schauder度的性质55

1.4.4 Leray-Schauder度的计算59

1.5 不动点定理64

1.6 一般的分支定理68

第二章半线性二阶椭圆型方程74

2.1 二阶线性椭圆型方程的理论简述及其应用74

2.2耦合方程组的边值问题81

2.2.1 解的梯度的最大模估计81

2.2.2 解的存在性83

2.3单个方程的边值问题91

2.3.1 上、下解方法92

2.3.2 拟上、下解方法97

2.3.3 最大解与最小解101

2.3.4 二维半线性椭圆型方程的正解106

2.4 多解性的一些结果114

2.5 非线性边界条件的边值问题120

2.6 具散度型主部方程弱解的存在性123

2.7 无界域内的边值问题128

2.8变分方法139

2.8.1 泛函极值的必要条件139

2.8.2 弱下半连续泛函的极值140

2.8.3 凸泛函的极值141

2.8.4 Palais-Smale条件147

2.8.5 山路引理150

2.8.6 临界点理论在半线性椭圆型方程中的应用154

第二篇非线性发展方程170

第三章半群理论及其应用170

3.1有界线性算子半群170

3.1.1 一个例子170

3.1.2 有界线性算子的一致连续半群172

3.1.3 有界线性算子的强连续半群175

3.2 Hille-Yosida定理178

3.3 增殖算子186

3.4 抽象发展方程的初值问题188

3.5 半线性发展方程199

3.6一些特殊类型的发展方程210

3.6.1 线性热传导方程的初边值问题210

3.6.2 半线性热传导方程的初边值问题213

3.6.3 线性波动方程的初边值问题215

3.6.4 非线性波动方程的初边值问题218

3.6.5 非线性Schrǒdinger方程220

3.7Kōmura-Kato方法225

3.7.1 Banach空间内的一些收敛性226

3.7.2 Bochner积分228

3.7.3 增殖算子与增殖集230

3.7.4 Kōmura方法234

3.8 Crandall-Liggett方法240

第四章单调算子的理论及其应用257

4.1单调算子及其基本性质257

4.1.1 单调算子的概念257

4.1.2 单调算子的基本性质260

4.2 单调算子的满射性266

4.3 非线性发展方程的初值问题271

第五章Aubin紧性引理及其应用281

5.1 Aubin紧性引理281

5.2 其它一些命题285

5.3 应用举例289

5.4一类退化抛物型方程的初边值问题299

5.4.1 几个引理300

5.4.2 p＞2＋a时的整体存在性与唯一性304

5.4.3 p＜2＋a时的整体存在性与唯一性309

5.4.4 Blow-up现象311

第六章Nash-Moser-Hǒrmander迭代法316

6.1 普通迭代法中的导数损失问题316

6.2n维波动方程Cauchy问题解的先验估计322

6.2.1 解的表达式322

6.2.2 解的L∞模估计324

6.2.3 解的导数的L∞模估计330

6.2.4 非齐次方程解的估计336

6.3二阶线性双曲型方程解的估计338

6.3.1 一些引理340

6.3.2 二阶双曲型方程的能量估计344

6.3.3 非线性双曲型方程解的估计350

6.4 光滑化算子354

6.5Nash-Moser-Hǒrmander迭代方法357

6.5.1 迭代程序358

6.5.2 一些估计式359

6.5.3 主要结果的证明378

第七章退化抛物型方程的正则化方法381

7.1方程的实际背景381

7.1.1 液体通过稀疏介质的流动381

7.1.2 人口模型383

7.2比较原理385

7.2.1 初边值问题的比较原理385

7.2.2 Cauchy问题的比较原理390

7.3正则化方法394

7.3.1 一维渗流方程的初边值问题394

7.3.2 高维渗流方程的初边值问题397

7.3.3 Cauchy问题403

7.4 界面的增长性与解的渐近性态418

参考文献428