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第一章微分方程组解的一般定理1

1.积分曲线1

1.积分曲线.正向终极时间?1

2.?=b 的条件.n=1的情形4

3.?=b 的条件.一般情形7

4.积分曲线的有界性9

5.Carathéodory 意义下的积分曲线11

2.Lipschitz 系统和 Carathéodory 系统12

1.推广的 Gronwall 引理12

2.Lipschitz 系统.对于两个积分曲线弧的|x(t)-y(t)|的估值13

3.唯一性定理.对初值点 p0及 f 的连续相依性15

4.Carathéodory 系统16

3.系统(1.1.1)的解?(t，t0，x0)17

1.函数?(t，t0，x0).唯一性情形17

2.?(t，t0，x0)的连续性19

3.稳定性19

4.线性系统的函数?(t，t0，x0)23

5.?(t，t0，x0)的可微性25

6.含参数的系统26

4.周期解27

1.周期积分曲线.周期轨道27

2.例外周期解28

5.自治系统31

1.自治系统及其积分曲线的性质31

2.轨线.相空间32

3.奇点.环.开轨线34

补充35

参考文献38

第二章特殊的平面自治系统40

1.线性系统40

1.奇点40

2.线性系统的孤立奇点的标准型42

3.相平面的仿射变换45

4.奇点类型的分类47

2.齐次系统53

1.齐次系统53

2.不变射线.星形结点54

3.中心与焦点55

4.孤立不变射线.正规角域57

5.轨线在正规角域中的性态61

6.例子68

3.解析系统70

1.引言70

2.例子72

3.函数 Z(x，y)，N(x，y)75

4.引理78

5.趋于 O 的轨线.焦点79

6.方程 N(θ)=0.临界点82

7.对 Z(x，y)的研究.Z(x，y)定号的情形85

8.Z-扇形域的分类86

4.中心问题90

1.中心问题90

2.N(θ)≠0时的中心问题90

3.m=1的情形.Poincaré 方法93

4.m=1的情形.关于中心的 Poincaré 定理.E.Picard.J.Chazy 的证明97

5.m=1的情形.周期的计算101

6.关于中心的 Poincaré 充分条件.应用于月球运动的 Delaunay 方程101

7.有关中心问题的文献102

5.无穷远奇点105

1.Poincaré 球面.无穷远奇点105

2.例子110

3.齐次系统的无穷远奇点112

补充114

参考文献118

第三章Briot-Bouquet 奇点120

1.解析情形的 Briot-Bouquet 定理120

1.引言120

2.p 不为正整数时的 Briot-Bouquet 方程.全纯解的研究122

3.p 为正整数的情形.全纯解的存在性124

4.p=0时方程的解126

2.在解析情形下，把具有一个孤立奇点的微分方程化为标准型.关于第二类简化方程的轨线性态的 Bendixson 定理128

1.第一类和第二类简化型式128

2.I.Bendixson 关于第二类简化方程的轨线性态的结果134

3.在实数域内 Briot-Bouquet 方程的结点情形.Wintner 定理137

1.A.Wintner 引理137

2.A.Wintner 第一定理141

3.A.Wintner 第二定理143

补充145

参考文献150

第四章平面自治系统152

1.极限集152

1.轨线γ的极限集 A(γ)，Ω(γ).一般性质152

2.轨线的分类155

3.常点与常轨线157

4.(平面)闭轨线，平面环的稳定性159

5.(平面)常极限轨线161

6.有界极限集Ω(γ)的结构164

7.由一个奇点构成的极限集166

8.无界集Ω(γ)的结构169

2.平面环170

1.极限环170

2.极限环的分类.轨道稳定性173

3.例子173

4.Bendixson 定理175

5.C1类系统.环的特征指数177

6.解析系统的环182

7.右端为多项式的系统的极限环186

8.无平面环的区域187

9.平面自治系统的周期解.极限环的存在性188

10.(极限)环的唯一性189

3.孤立奇点189

1.孤立奇点的分类.第一类奇点(中心-焦点).中心189

2.第二类奇点的邻域191

3.焦点193

4.例外方向193

5.正规扇形域195

4.指标200

1.Kronecker 指标200

2.点的指标205

3.特殊奇点的指标的计算206

4.球面和亏格为 p 的曲面的指标208

5.相空间是柱面的情形209

1.相空间是柱面的情形209

2.一个例子211

6.相空间为环面的情形212

1.相空间为环面的情形212

2.例子213

3.环面上无奇点的系统214

4.其它结果216

7.动力系统的简单介绍216

参考文献220

第五章具有扰动项的平面自治系统224

1.齐次扰动系统224

1.一般问题224

2.N(θ)≠0的情形226

3.趋于 O 的轨线.例外方向229

4.正规扇形域的不变性.第一类正规扇形域231

5.第二类正规扇形域.第一判定问题232

6.第三类正规扇形域.第二判定问题237

7.N(θ)恒等于零的情形240

8.一些说明241

2.C1类系统的孤立奇点.初等奇点241

1.引言241

2.焦点与弱焦点242

3.吸引点.星形结点243

4.单切结点245

5.双切结点246

6.鞍点248

7.注249

3.H.Weyl 对双切结点和鞍点的渐近性研究250

1.问题的叙述.记号250

2.结点情形(0252

3.关于|e?y(t)-b|，|x(t)-x0e-?|的上界258

4.x(r)=Cr?的情形.关于|y(t)-be?|，|x(t)|的上界259

5.k≥l，k＞0的情形.H.Weyl 第二定理261

6.参数化系统265

7.双切结点情形.H.Weyl 第三定理267

8.鞍点情形(l＜0＜k).H.Weyl 第四定理271

4.C1类系统的孤立奇点.非初等奇点272

1.引言272

2.对于系统?=x+f(x，y)，?=g(x，y)的 K.A.Keil 第一定理273

3.关于等倾线的引理276

4.关于系统?=x+f(x，y)，?=g(x，y)的 K.A.Keil 第二定理与第三定理279

5.K.A.Keil 对于系统?=y+f(x，y)，?=g(x，y)的进一步结果284

6.1，2，4节的文献注记286

5.结构稳定系统.含参数的系统286

1.结构稳定系统286

2.结构不稳定系统.极限环的产生288

3.含参数系统的极限环290

参考文献292

第六章某些具单自由度的自治系统295

1.在粘性阻尼作用下，质点的线性运动方程的轨线295

1.在粘性阻尼作用下质点的线性运动方程的轨线295

2.方程 ?+α?+sinθ-β=0，α≥0，β≥0296

1.引言296

2.β＞1的情形.(6.2.3)的周期解 z=？(θ)的存在性297

3.0＜β＜1的情形.奇点的分类299

4.极限情形 α=0时的轨线301

5.α＞0，0＜β＜1的情形.(6.2.3)的周期解和临界值α(θ0)303

6.θ0=π/2(β=1)的情形309

7.0＜θ0＜π/2(α＞0，0＜β＜1)时的轨线311

8.关于临界值 α(θ0)的不等式317

9.M.Urabe 计算 α(θ0)的方法321

3.张弛振荡的 Van der Pol 方程和 Liénard 方程322

1.预备知识322

2.Liénard 方程周期解的存在性324

3.Liénard 方程周期解的唯一性的充分条件326

4.Liénard 方程的周期解不唯一的情形328

5.f(x)有第一类间断点时，Liénard 方程周期解的存在定理330

6.Liénard 方程的比较定理332

7.周期的计算333

8.van der Pol 方程.轨线在无穷远处的性态335

9.当参数趋近于无穷时，van der Pol 方程的极限环的性态.D.A.Flander 和 J.J.Stoker 定理337

10.含有大参数的 van der Pol 方程的周期解的周期与振幅的渐近估值339

11.R.Gomory 和 D.E.Richmond 关于极限环的不等式339

4.广义 Liénard 方程的周期解342

1.A.F.Filippov 的第一个定理342

2.A.F.Filippov 的第一个定理350

3.唯一性定理350

4.对方程?+f(x，?)?+g(x)=0的研究351

5.方程?+f(x)?+g(x)=0在不作 xg(x)＞0(|x|＞0)的假定时的周期解355

1.引言355

2.奇点356

3.环及其性质357

4.一种不存在周期解的情形360

5.环的存在性361

6.环的唯一性的一个准则362

6.衰减振动方程 A?+f(?)?+Cx=0362

1.引言362

2.原点为稳定点的条件363

3.G.Malgarini 的一个定理364

7.一个关于绳索动力学与空气动力学的方程365

1.奇点365

2.系统(6.7.2)所确定的方向场366

3.当参数 p 充分小时，周期解的存在性369

补充371

参考文献376

第七章具单个自由度的非自治系统382

1.强迫振荡问题.线性情形382

1.调和情形的强迫振荡382

2.非调和情形的强迫振荡384

3.强迫振荡问题386

2.L.E.J.Brouwer 不动点定理，M.L.Cartwright J.E.Littlewood 定理及 J.L.Massera 定理386

1.Brouwer 不动点定理386

2.用 Brouwer 定理证明周期解的存在性389

3.M.L.Cartwright-J.E.Littlewood 定理390

4.J.L.Massera 定理391

3.T.Yoshizawa 定理394

1.最终有界性准则394

2.周期解存在定理401

3.解的稳定性401

4.关于周期解的唯一性与稳定性的一个定理407

5.个别解的有界性准则408

6.由 Massera 定理推导周期解的存在性的一个准则.Mizo-hata 和 Yamaguti 定理411

4.方程?=F(x，cosωt)的异相调和解.F.John 定理412

1.解在整个(-∞，+∞)上存在的问题412

2.关于异相调和解存在的 F.John 定理417

5.方程式?+f(x)?+g(x)=p(t)422

1.S.Lefschetz，N.Levinson，M.L.Cartwright 和 J.E.Littlewood 等人的结果422

2.N.Levinson 的一条存在性定理和一条关于渐近稳定性的定理424

3.方程?+g(x)=p(t)，p(t)为偶函数.G.R.Morris 定理428

4.奇周期调和解.关于具强迫项的 Duffing 方程的 W.S.Loud 定理429

5.关于方程式?+f(x)?+λ2x=Fsinωt(λ＞0，ω＞0，F＞0)的周期解的 D.Graffi 不等式430

6.方程式?+F(?)+x=p(t)432

1.R.Caccioppoli，A.Ghizzetti 和 A.Ascari 关于周期解的存在性、唯一性与稳定性的准则432

2.关于绳索力学的一个微分方程.J.Cecconi 和 F.stop-pelli 的结果435

7.关于方程式?+kf(x)?+g(x)=kp(t)和?+kf(?)+g(x)=kp(t)的 G.E.H.Reuter 定理437

1.方程?+kf(x)?+g(x)=kp(t)437

2.方程?+kF(?)+g(x)=kp(t)441

8.方程?+f(x，?)?+g(x)=p(t)442

1.H.A.Antosiewicz 关于解的正向有界性的准则442

2.N.Levinson 和 C.E.Langenhop 关于周期解的存在性的准则443

9.具有次调和解的非线性系统447

1.次调和解447

2.D 类系统448

3.D 类系统的变换的不动点的分类449

4.N.Levinson 和 J.L.Massera 关于次调和解的个数的定理451

10.关于周期解的一般讨论452

1.自治系统452

2.周期的非自治系统453

补充454

参考文献460

第八章线性系统466

1.伴随系统.T.Wazewski 不等式466

1.伴随系统466

2.Wazewski 不等式467

2.常系数线性自治系统469

1.标准基本解矩阵469

2.齐次系统解的形式.特征指数.型数470

3.实系统的奇点472

4.n=3的(实)情形474

3.线性周期系统477

1.标准基本解矩阵.Floquet 定理和 Lyapunov 定理477

2.特征指数.型数478

4.可约系统481

1.可约系统.特征指数和型数481

5.函数的型数.t-相似关系482

1.函数的型数482

2.t-相似关系(或运动相似)483

3.非零解的型数484

4.正规解组.数S?485

5.关于 S?的不等式.非正则常数487

6.正则系统488

1.正则系统488

2.Perron 定理490

3.三角形矩阵490

7.周期解491

1.线性齐次系统491

2.线性非齐次系统492

3.拟线性周期系统调和解的存在性495

补充498

参考文献499

第九章稳定性502

1.V 函数方法502

1.引言502

2.V 函数503

3.T.Wazewski 引理505

4.稳定性的充分条件506

5.稳定的必要条件.逆问题508

6.渐近稳定性509

7.全局渐近稳定性511

8.其它类型的稳定性512

9.不稳定性513

10.用 V 函数研究有界性514

2.线性系统的稳定性516

1.稳定的和不稳定的线性系统516

2.一致稳定的线性系统518

3.一致稳定性与 t∞-相似519

4.一致稳定性的准则521

5.与零可约的线性系统和限制稳定性523

6.线性系统的渐近稳定性527

7.常系数线性系统的 V 函数530

3.按一次近似判定稳定性530

1.引言530

2.按线性一次近似决定稳定性532

3.几个推广与注释.L(v，N)性质535

4.渐近稳定性.非线性一次近似的情形537

5.解析系统.临界情形538

6.轨道(渐近)稳定性.积分流形近傍的解的性态539

4.渐近等价性542

1.渐近等价性542

2.H.Weyl 定理542

3.关于渐近等价性的其它结果547

补充与问题548

参考文献552