《非线性扩散方程》

第一章Newton渗流方程1

1 引言1

1.1 物理例子1

1.2 广义解的定义4

1.3 特殊解9

2 解的存在唯一性：一维情形11

2.1 解的唯一性11

2.2 解的存在性14

2.3 比较原理18

2.4 某些推广22

3 解的存在唯一性：高维情形26

3.1 比较原理和解的唯一性26

3.2 解的存在性31

3.3 某些推广34

4 解的正则性：一维情形36

4.1 引理36

4.2 解的正则性39

4.3 某些推广41

5 解的正则性：高维情形43

5.1 两个技术性引理43

5.2 广义B2类44

5.3 解的H？lder连续性58

6 自由边界的性质：一维情形62

6.1 扰动的有限传播62

6.2 扰动的局部化和熄灭性质67

6.3 自由边界上的微分方程70

6.4 自由边界的连续可微性73

6.5 某些进一步的结果85

7 自由边界的性质：高维情形86

7.1 自由边界的单调性和H？lder连续性86

7.2 自由边界的Lipschitz连续性103

7.3 自由边界上的微分方程111

8 解的初始迹112

8.1 Harnaok不等式113

8.2 主要结果119

8.3 存在唯一性定理的推广124

9 其他问题125

9.1 具强非线性源的方程125

9.2 解的渐近性质130

第二章非Newton渗流方程134

1 引言 预备知识134

1.1 引言 物理例子134

1.2 基本空问和常用引理136

1.3 广义解的定义142

1.5 特殊解147

2 解的存在性149

2.1 uo∈C∞o(RN)和uo∈L＇(RN)nL∞(RN)的情形149

2.2 uo∈Lloc(RN)的情形165

2.3 一些注记178

3 Harnack不等式和解的初始迹179

3.1 局部Harnack不等式179

3.2 整体Harnack不等式186

3.3 解的初始迹192

4.1 解的有界性194

4 解的正则性194

4.2 解的梯度的有界性198

4.3 解的H？lder连续性203

4.4 解的梯度的H？lder连续性207

5 解的唯一性222

5.1 辅助命题222

5.2 唯一性定理及其证明238

6 自由边界的性质245

6.1 自由边界的单调性和H？lder连续性246

7 其他问题255

6.2 自由边界的Lipschitz连续性255

7.1 具强非线性源的P-Laplace方程256

7.2 解的渐近性质259

第三章一般二阶拟线性方程262

1 引言262

2 一维弱退化方程264

2.1 有界可测解的唯一性264

2.2 连续解的存在性272

2.3 解的H？ldcr连续性276

2.4 某些推广277

3 多维弱退化方程279

3.1 两个退化点情形下连续解的存在性280

3.2 BV解的唯一性285

3.3 BV解的存在性292

3.4 某些推广296

4 一维强退化方程297

4.1 问断解与积分不等式297

4.2 内部间断性条件299

4.3 Cauchy问题BV解的唯一性305

4.4 边值条件与积分不等式315

4.5 边界问断性条件316

4.6 第一边值问题BV解的唯一性318

4.7 第一边值问题BV解的存在性320

4.8 双重退化方程324

4.9 无穷远退化方程325

4.10 问断线的性质326

5.1 有界可积解的唯一性328

5 不含低阶项的多维强退化方程328

5.2 关于弱收敛的引理333

5.3 解的存在性336

5.4 扰动的有限传播341

6 一般多维强退化方程345

6.1 BV解的存在性346

6.2 BV解的唯一性353

6.3 BV解的正则性354

6.4 某些推广354

7 附录：BV和BVx函数及其性质355

第四章高阶非线性扩散方程360

1 引言360

2 一个四阶方程的相似解362

2.1 相似解的定义363

2.2 初值问题整体解的存在唯一性364

2.3 解的正则性367

2.4 解的零点的性质368

2.5 无界解的性质369

2.6 半直线上的有界解370

2.7 整个直线上的有界解377

2.8 典型情形κ=1，2,3,4时解的性质379

2.9 相似解当t→O+时的性态388

3 双重退化方程390

3.1 解的存在性391

3.2 解的唯一性399

3.3 解的加权能量等式407

3.4 几个辅助不等式408

3.5 扰动的有限传播409

3.6 解的渐近性质413

3.7 解于有限时问内的熄灭414

3.8 非负解的非存在性414

3.9 无限传播情形416

4 具常迁移率的Cahn-Hilliard方程416

4.1 古典解的存在性417

4.2 解在有限时问内的爆破(Blow-up)421

4.3 小初值时整体解的存在性424

5 具浓度相关正迁移率的Cahn-Hilliard方程429

5.1 一个变形的Campanato空间430

5.2 一个线性问题解的H？ldcr模估计431

5.3 零位势情形441

5.4 一般情形446

6 固体表面微滴扩散方程447

6.1 广义解的定义448

6.2 逼近解及其一致估计448

6.3 解的存在性453

6.4 解的非负性455

6.5 非负解的零点459

6.6 解的正则性460

6.7 解的支集的单调性462

7 具退化迁移率的Cahn-Hilliard方程464

7.1 具退化迁移率的模型464

7.2 物理解的定义465

7.3 解的存在性467

7.4 物理解468

参考文献474