《反应扩散方程引论》求取 ⇩

1.1 基本定理1

1.1.1 初值问题解的存在性与唯一性1

第一章 常微分方程准备知识1

1.1.2 解的延拓2

1.1.3 解的连续性与可微性3

1.1.4 线性方程5

1.2 常微分方程的比较原理8

1.2.1 方程式的最在解与最小解9

1.2.2 微分不等式与微分方程式的解的比较10

1.2.3 方程组的解的模估计12

1.2.4 方程组的比较原理12

1.3.1 相空间与相轨线15

1.3 自治系统的一般性质15

1.3.2 自治系统轨线的简单性质16

1.3.3 自治系统的解确定一个动力系统16

1.3.4 轨线的分类17

1.3.5 不变集与解的不变性19

1.4 平面自治系统的平衡点19

1.4.1 概述19

1.4.2 二维常系数线性方程的标准化21

1.4.3 标准化方程的简单平衡点22

1.4.4 线性常系数系统的简单平衡点25

1.4.5 非线性系统的平衡点27

1.5.1 相轨线的普遍性质32

1.5 二阶保守系统及其相图分析32

1.5.2 平衡点邻域的相图33

1.5.3 整个相平面上的轨线34

1.6 平面自治系统的周期解与极限集39

1.6.1 概述39

1.6.2 判别闭轨不存在的准则41

1.6.3 极限集的一般性质43

1.6.4 无切线段及其性质45

1.6.5 Poincaré-Bendixson定理47

1.6.6 Poincaré-Bendixson定理的应用49

1.7 生态方程51

1.7.1 捕食方程52

1.7.2 竞争方程55

1.7.3 一个互助型方程58

1.8 n维非线性系统平衡点的稳定性59

1.8.1 稳定性概念59

1.8.2 Liapunov函数61

1.8.3 判别稳定性的Liapunov方法64

1.8.4 常系数线性系统的稳定性68

1.8.5 判别稳定性的线性化方法70

习题一71

第二章 行波解的存在唯一性74

2.1 行波解的基本性质75

2.2.1 问题的转化78

2.2 波前解的存在性和唯一性78

2.2.2 存在波前解的必要条件81

2.2.3 初值问题的正解对参数的单调性82

2.2.4 结-鞍情形的波前解85

2.2.5 鞍-鞍情形的波前解89

2.3 f(u)=u(1-u)(u-α)(0<α<1)时单调与非单调行波解的存在性91

2.3.1 奇点分析与各种可能的情形91

2.3.2 e=0的情形93

2.3.3 e>0时各种可能情形化为统一的形式94

2.3.4 显式解95

2.3.5 结-鞍与鞍-鞍情形的波前解95

2.3.6 鞍-焦与鞍-结情形的非单调行波解98

2.4 评注100

习题二103

第三章 基于最大值原理的比较方法及其应用106

3.1 最大值原理106

3.2 嵌入定理，线性问题解的存在唯一性及估计109

3.2.1 几个函数空间109

3.2.2 嵌入定理及线性椭圆型边值问题111

3.2.3 线性抛物型方程的初边值问题113

3.3 椭圆型边值问题的比较方法115

3.3.1 上、下解与比较方法115

3.3.2 二阶线性椭圆算子的特征值问题118

3.3.3 应用--一个平衡解的分叉问题134

3.4.1 抛物型方程初边值问题的比较方法138

3.4 抛物型方程初边值问题的比较方法138

3.4.2 上、下解方法--初边值问题解的存在唯一性140

3.4.3 爆炸现象147

3.5 抛物型方程初值问题的比较方法154

3.5.1 初值问题的比较原理155

3.5.2 上、下解与初值问题解的存在唯一性155

3.6 评注157

习题三159

第四章 平衡解的稳定性问题163

4.1 平衡解与稳定性概念163

4.2.1 基于第一特征值与第一特征函数的稳定性判别法166

4.2 初边值问题平衡解的稳定性166

4.2.2 基于单调序列的稳定性判别法170

4.3 初值问题常数平衡解的稳定性175

4.3.1 基本引理175

4.3.2 常数平衡解的(C)稳定性180

4.3.3 常数平衡解(逐点收敛意义下)的稳定性182

4.4 评注188

习题四190

第五章 抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用192

5.1 概述192

5.2.1 上、下解的定义与迭代格式195

5.2 拟单调增加和拟单调减少情形的比较方法195

5.2.2 抛物型方程组的最大值原理199

5.2.3 抛物型方程组初边值问题解的存在唯一性定理与椭圆型边值问题解的存在性定理205

5.2.4 抛物型方程组的比较原理与上、下解的有序性206

5.3 混拟单调情形的比较方法209

5.4 非拟单调的情形213

5.5 上、下解的构造219

5.6 非常数平衡解的稳定性225

5.7 评注228

习题五232

第六章 不变区域及其应用236

6.1 反应扩散方程组的不变矩形237

6.2 反应扩散方程组的不变区域241

6.3 比较定理.t→+∞时解的渐近行为249

6.4 反应扩散方程的局部解和整体解255

6.5 评注259

习题六260

第七章 平衡解的存在性与分叉问题--度理论的应用262

7.1 度的定义262

7.1.1 有限维空间中的Brouwer度262

7.1.2 Banach空间中的Leray-Schauder度267

7.2 度的性质269

7.3 Leray-Schauder度的计算275

7.3.1 Schauder不动点定理276

7.3.2 奇算子的度277

7.3.3 线性紧算子的奇点指数278

7.3.4 可导紧算子的奇点指数279

7.3.5 渐近线性紧算子的奇点指数282

7.4 度理论的应用--半线性椭圆型方程边值问题解的存在性283

7.5 度理论的应用--多解问题285

7.5.1 Banach空间中紧算子方程的多解问题285

7.5.2 由严格上、下解构造凸集287

7.5.3 椭圆型方程组的多解问题--存在严格上、下解的情形290

7.5.4 椭圆型方程的多解问题--极小解与极大解不等的情形294

7.6 度理论的应用--分叉问题296

7.6.1 局部分叉的一般结论297

7.6.2 一个常微分方程的分叉问题298

7.6.3 一个偏微分方程的分叉问题307

7.6.4 全局分叉的一般结论311

7.7 评注312

习题七316

第八章 平衡解的存在性与分叉问题--相图法320

8.1 一般原理320

8.2 时间函数是单调的情形324

8.3 时间函数是非单调的情形329

8.4 评注337

习题八339

第九章 抽象理论--解析半群与非线性方程的初值问题343

9.1 线性齐次方程的初值问题与C0半群344

9.2 线性算子是C0半群的无穷小生成元的充要条件351

9.3 解析半群与扇形算子356

9.3.1 解析半群与初值问题的解356

9.3.2 可微半群与解析半群的性质357

9.3.3 扇形算子362

9.3.4 由扇形算子确定解析半群367

9.4 线性方程的初值问题372

9.5 分数幂算子与分数幂空间377

9.5.1 概述377

9.5.2 分数幂算子的定义与例子381

9.5.3 分数幂算子的性质384

9.5.4 几个估计式390

9.6 非线性方程的初值问题397

9.6.1 带奇性的Gronwall不等式397

9.6.2 与初值问题等价的积分方程399

9.6.3 解的局部存在性和唯一性400

9.6.4 解的延拓402

9.6.5 解的紧性404

9.6.6 解的连续性和可微性405

9.6.7 微分方程的光滑作用408

9.7.1 由微分算子所确定的扇形算子412

9.7 应用与例子412

9.7.2 由微分算子所确定的分数幂空间416

9.7.3 一个例子418

习题九421

第十章 抽象理论--动力系统与平衡点的稳定性427

10.1 动力系统427

10.2 Liapunov函数与稳定性判别准则429

10.3 动力系统的极限性质与不变性原理432

10.3.1 极限集432

10.3.2 极限集与Liapuaov函数的关系。动力系统的极限性质434

10.3.3 关于不稳定性的一个结论436

10.4 自治方程与Liapunov函数437

10.4.1 Liapunov函数与解的全局存在性437

10.4.2 Liapunov函数与解的稳定性438

10.4.3 例子440

10.4.4 关于渐近稳定性的逆定理449

10.5 渐近自治方程454

10.6 判断稳定性的线性近似方法456

10.6.1 线性方程的稳定性456

10.6.2 按线性近似方程确定稳定性458

10.7 稳定性问题的若干例子467

习题十481

参考文献484

9.5.5 分数幂空间与图范数933