《微分几何的理论与问题》

第一章预备知识1

1.1向量的代数运算1

1.2向量的微分运算6

第二章曲线论13

2.1曲线及其基本三棱形13

2.2曲线的基本公式19

2.3基本三棱形之间有某种对应关系的两条曲线27

2.4密切圆与密切球面渐伸线与渐缩线30

2.5 曲线与曲线的切触 曲线与曲面的切触33

2.6特殊类型的曲线37

2.7曲线的基本定理42

2.8平面曲线44

第三章曲面论50

3.1曲面及其基本三棱形50

3.2曲面的第一基本齐式54

3.3曲面的第二、三基本齐式60

3.4曲面的各种曲率62

3.4.1 曲面的各种曲率66

3.4.2曲面上点的类型67

3.5 曲面上的特殊曲线与曲线网68

3.5.1 曲率线与渐近曲线70

3.5.2各种曲线网72

3.6特殊类型的曲面75

3.6.1平面与球面76

3.6.2可展曲面与直纹面76

3.6.3极小曲面79

3.6.4旋转曲面79

3.7曲面的基本公式与基本定理80

3.8测地曲率、测地挠率与测地线85

3.8.1测地曲率88

3.8.2测地线89

3.8.3测地挠率90

3.9曲面的映射91

3.9.1等距映射92

3.9.2等角映射与等积映射94

3.10曲面族的包络面95

第四章曲线与曲面的整体性质100

4.1平面曲线100

4.2常宽曲线104

4.3直线集合的测度105

4.4空间曲线109

4.5 Gauss-Bonnet公式111

4.6紧致曲面与凸曲面114

习题解法、提示与答案116

第一章预备知识116

1.1116

1.2117

第二章曲线论121

2.1121

2.2127

2.3135

2.4141

2.5146

2.6147

2.7157

2.8159

第三章曲面论171

3.1171

3.2175

3.3182

3.4186

3.5194

3.6205

3.7218

3.8223

3.9228

3.10234

第四章曲线与曲面的整体性质241

4.1241

4.2242

4.3243

4.4246

4.5247

4.6248