《微分几何》

第一章 曲线论1

1 向量代数复习1

2 向量函数10

2.1 向量函数的极限10

2.2 向量函数的连续性13

2.3 向量函数的微商13

2.4 向量函数的泰勒(Taylor)公式16

2.5 向量函数的积分17

3.1 曲线的概念22

3 曲线的概念22

3.2 光滑曲线 曲线的正常点25

3.3 曲线的切线和法面27

3.4 曲线的弧长 自然参数31

4 空间曲线37

4.1 空间曲线的密切平面38

4.2 空间曲线的基本三棱形41

4.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式45

4.4 空间曲线在一点邻近的结构52

4.5 空间曲线论的基本定理56

5.1 平面曲线60

5 特列曲线60

(1) 平面曲线的伏雷内标架61

(2) 平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆62

(3) 平面曲线的伏雷内公式69

(4) 平面曲线在一点邻近的结构71

(5) 平面曲线的渐缩线和渐伸线73

5.2 一般螺线78

5.3 贝特朗(Bertrand)曲线81

1 曲面的概念87

1.1 简单曲面及其参数表示87

第二章 曲面论87

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线90

1.3 曲面上的曲线族和曲线网96

2 曲面的第一基本形式98

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长98

2.2 曲面上两方向的交角101

2.3 正交曲线族和正交轨线103

2.4 曲面域的面积104

2.5 等距变换105

2.6 保角变换108

3 曲面的第二基本形式111

3.1 曲面的第二基本形式111

3.2 曲面上曲线的曲率117

3.3 杜邦(Dupin)指标线121

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向122

3.5 曲面的主方向和曲率线125

3.6 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率129

3.7 曲面在一点邻近的结构135

3.8 高斯曲率的几何意义139

4 直纹面和可展曲面145

4.1 直纹面145

4.2 可展曲面150

5 曲面论的基本定理159

5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳(Christoffel)符号160

5.2 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪Gauss-Codazzi-Mainardi)公式163

5.3 曲面论的基本定理168

6 曲面上的测地线174

6.1 曲面上曲线的测地曲率174

6.2 曲面上的测地线177

6.3 曲面上的半测地坐标网179

6.4 曲面上测地线的短程性181

6.5 高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式184

6.6 曲面上向量的平行移动187

6.7 极小曲面193

7 常高斯曲率的曲面198

7.1 常高斯曲率的曲面198

7.2 伪球面199

7.3 罗氏几何204

第三章 外微分形式和活动标架209

1 外微分形式209

1.1 格拉斯曼(Grassmann)代数209

1.2 外微分形式214

1.3 弗罗皮尼斯(Frobenius)定理224

2.1 合同变换群239

2 活动标架239

2.2 活动标架242

2.3 活动标架法252

3 用活动标架法研究曲面255

3.1 曲面论的基本定理255

3.2 曲面的第一和第二基本形式256

3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率257

3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率260

3.5 曲面上的平行移动262

3.6 高斯-波涅公式265

3.7 闭曲面的欧拉示性数267