《微分几何导引》

目 录1

序1

第一章代数预备知识1

§1.1张量代数1

§1.2张量11

§1.3外代数16

§1.4Hodgθ星号算子*26

§1.5李代数的基本概念28

第二章微分流形33

§2.1微分流形的定义33

§2.2光滑流形之间的映射40

§2.3切空间43

§2.4子流形50

§2.5嵌入定理61

§2.6 Frobθnius定理70

第三章外微分80

§3.1切丛和外微分形式80

§3.2外微分86

§3.3单位的剖分定理98

§3.4微分流形的定向111

§3.5微分流形上的积分117

§3.6 Dθ Rham群134

§4.1李群的定义139

第四章李群初步139

§4.2 Maurer-Cartan形式142

§4.3右不变矢量场的局部表示148

§4.4李群的基本问题152

§4.5单参数子群和指数映射160

§4.6李群上的积分167

§4.7李群的闭子群171

§4.8李氏变换群180

§4.9李导数，李代数的伴随表示190

§4.10主丛201

§4.11活动标架法207

§5.1主丛上的连络213

第五章连络论213

§5.2线性标架丛上的连络220

§5.3流形上的仿射连络230

§5.4仿射连络的局部性质236

§5.5矢量丛上的连络247

§5.6和乐群和Ambrose-Singer定理253

第六章黎曼流形267

§6.1黎曼尺度267

§6.2黎曼流形上的连络和曲率275

§6.3欧几里德空间的子流形287

§6.4测地线297

§6.5黎曼流形上的凸邻域309

§6.6黎曼流形的完备性314

§6.7黎曼流形上的余微分算子324

§6.8黎曼流形容许的变换群334

§6.9对称的黎曼流形348

§6.10黎曼流形的子流形359

第七章复流形372

§7.1实矢量空间的复结构372

§7.2厄密特尺度379

§7.3殆复流形383

§7.4殆复结构的挠率张量389

§7.5殆复结构的无穷小自同构399

§7.6殆复流形上的连络407

§7.7厄密特流形与凯勒流形411

§7.8相对于局部坐标系的凯勒尺度420

§7.9全纯截面曲率423

§7.10凯勒流行的实例429

§7.11算子L,？及其应用437

§7.12陈示性类449

第八章Jacobi场和比较定理464

§8.1 Jacobi场464

§8.2第一、第二变分公式476

§8.3第一比较定理491

§8.4焦点，第二比较定理507

§8.5 Toponogov定理519

§8.6黎曼曲率的几何意义530

§8.7 Morse指标定理533

第九章层论和de Rham定理545

§9.1层的定义545

§9.2预层549

§9.3好层555

§9.4上链复形561

§9.5层上同调论的公理化定义567

§9.6层上同调论的唯一性573

§9.7 de Rham上同调论581

§9.8奇异上同调论583

§9.9 de Rham定理的证明598

§9.10 Cech上同调论600

§9.11 Dolbeault定理609

第十章Hodge分解定理的证明621

10.1前言621

10.2分析上的预备知识和符号629

10.3 Sobolev空间633

10.4 Sobolev引理的证明641

10.5线性微分算子644

10.6椭圆算子646

10.7定理A的证明650

10.8定理B的证明657

10.9 定理A,B在Laplace-Beltrami算子上的应用661

参考书目668

名词索引669