《整体微分几何导引》求取 ⇩

§1．1 预备知识1

1 拓扑空间1

第一章 微分流形1

2 曲线与线性连通3

3 诱导拓扑3

4 拓扑基与第二可数性公理3

6 紧致拓扑空间4

7 数空间4

8 度量空间6

9 度量空间的完备化8

10 局部有限、仿紧空间9

习题1．110

§1．2 微分流形10

1 导引10

2 定义19

3 例子21

习题1．224

4 切空间及余切空间24

5 向量场27

6 切丛及余切丛29

7 微分映射30

8 子流形32

§1．3 流形上的微积分与Stokes定理35

1 关于多变数的积分35

2 外代数(又称为Grassmann代数)38

习题1．344

3 de Rham群45

4 流形上的微积分与Stokes定理46

习题1．466

1 张量代数67

§1．4 张量算法67

2 张量场73

1 李代数74

§1．5 李代数74

2 子代数、商李代数、同态映射75

3 李代数的自同构76

4 表示79

5 李代数的结构79

习题1．581

§1．6 单参数变换群与李导数81

1 单参数变换群81

5 同胚映射84

2 李导数87

习题1．692

§1．7 李群93

1 定义93

2 李群的实例96

3 局部李群99

4 流形上向量场的李代数100

5 李变换群103

6 李群的李子群109

7 双不变形式110

8 指数映射补遗113

§1．8 外导数、外微分问题补遗115

1 定义与基本定理115

2 外微分的性质119

3 外微分算子d与向量场的括号积[X，Y]＝XY-YX的关系121

第二章 仿射联络空间124

§2．1 仿射联络的定义125

§2．2 仿射联络的公理化128

§2．3 自平行曲线133

§2．4 Cartan结构方程134

习题139

第三章 黎曼空间141

§3．1 黎曼度量及其存在性142

§3．2 黎曼联络146

§3．3 联络与展开148

§3．4 测地线上的共轭点163

习题3．1166

习题3．2167

§3．5 和乐群168

§3．6 齐性空间与对称空间172

1 对称黎曼空间173

2 格拉斯曼流形175

§3．7 空间型问题176

§3．8 嵌入问题177

§3．9 调和积分177

习题3．3180

第四章 极小曲面与柏拉图问题182

§4．1 极小曲面的唯一性问题182

§4．2 渐近曲线、球面表示187

§4．3 极小螺旋面与悬链面188

§4．4 柏拉图问题190

1 卵形线191

§5．1 闭曲线191

第五章 平面曲线的整体性质191

2 四顶点定理193

3 等阔曲线198

4 卵形线上的反极点200

5 支持函数201

6 卵形线的最小和最大曲率圆203

习题5．1205

§5．2 等周问题207

1 等周不等式207

2 Crofton公式210

3 切线旋转定理213

习题5．2221

复习提纲与总习题222

第六章 空间曲线的整体性质224

§6．1 球面的Crofton公式224

§6．2 Fenchel定理226

§6．3 闭曲线的全挠率231

§6．4 Fary-Milnor定理234

§6．5 A．Schur定理236

习题241

第七章 曲面的整体性质242

§7．1 欧氏空间中的曲面242

§7．2 闭曲面247

§7．3 欧拉示性数248

习题7．1250

§7．4 整体高斯——波恩涅定理251

习题7．2252

§7．5 卵形面253

1 卵形面的刚性257

2 Minkowski定理265

习题7．3267

§7．6 Hopf—Rinow定理与Hadamard定理268

§8．1 整体黎曼几何导引271

第八章 等距变换群271

§8．2 完备性279

§8．3 等距变换282

§8．4 变分法初步285

§8．5 法坐标系288

§8．6 常曲率空间的特征292

§8．7 齐次空间297

§8．8 对称空间303

习题8．1310

§8．9 截面曲率311

§8．10 变分法续论315

1 Fermi坐标315

2 测地线的相对最短线318

习题8．2324

第九章 运动群326

§9．1 闭曲线的伴随合同变换326

§9．2 齐次运动群330

§9．3 运动群H~0341