《微分几何学》

第一部1

第一章纯量变元底向量函数1

1 导言1

2 无限小向量1

3 向量底极限3

4 纯量变元底向量函数4

5 向量函数导数6

6 向量函数底图解6

7 向量函数之导数底几何意义7

8 向量底微分法则8

9 Taylor公式11

10 定长向量与定向向量12

11 平行于固定平面的向量13

12 圆向量函数14

13 向量函数底积分16

第二章曲线与切线17

1 参数式曲线17

2 参数式曲线底切线19

3 平面曲线底隐方程式22

4 由隐方程式表示的曲线底奇异23

5 渐近线27

6 代数曲线底切线28

7 代数曲线底渐近线29

8 平面曲线族底包络31

9 曲面及其切线曲面底法线34

10 曲面底奇异点38

11 空间曲线底隐表示式39

12 含n个参数底曲线族40

13 曲线间的接触41

14 曲线与曲面底接触44

第三章相伴三面形45

1 密切平面45

2 密切平面底方程式47

3 切平面与密切平面49

4 曲线上一点至密切平面的距50

5 凝聚点51

6 基本三面形51

7 弧长52

8 弧长参数55

9 向径关于自然参数的导数56

10 渐伸线57

第四章Frenet-Serret公式59

1 基本三面形底单位向量59

2 Frenet-Serret公式61

3 Frenet-Serret公式底另一推导63

4 导数于自然参数的展开开64

5 于单位向量的辅助定理65

6 曲率65

7 曲线在密切平面上的射影66

8 挠率67

9 曲线在化直平面上的射影68

10 曲线在已给点近旁的形状70

11 曲线在凝聚点近旁的形状72

12 曲率与挠率底计算公式73

13 平面曲线底曲率74

14 密切圆77

15 平面曲线底渐屈线79

第五章曲线底自然方程式84

1 自然方程式84

2 具同一自然方程式的曲线85

3 微分方程式87

4 向量微分方程式90

5 关于相互三面形的辅助定理91

6 曲率与挠率底独立92

7 平面曲线底自然方程式95

8 定倾曲线97

9 具公共法线的曲线100

10 Bertrand曲线101

11 曲率与挠率间的线性相关102

12 定曲率曲线103

第六章可展曲面104

1 曲面族底包络104

2 曲面族底特征线107

3 脊线108

4 可展曲面110

5 极曲面113

6 极曲面底特征点114

7 密切球115

8 切平面底包络117

9 由法线组成的可展曲面118

10 空间渐屈线119

第二部121

第七章曲线坐标121

1 导言121

2 曲线坐标121

3 曲面底参数方程式124

4 切线126

5 切平面127

6 含二参数的平面族底包络128

7 弧长129

8 第一基本形式130

9 二曲线底交角131

10 正交轨线133

11 曲面底面积134

12 旋转曲面136

13 斜的与可展的直纹面139

14 空间底曲线坐标142

第八章曲面曲线底曲率144

1 法曲率144

2 第二基本形式145

3 曲线底曲率及其密切平面147

4 法截线148

5 Meusnier定理149

6 Dupin形150

7 Euler公式151

8 主曲率底计算153

9 旋转曲面底曲率155

10 球面曲线底曲率156

11 曲面上点底分类156

12 曲面在椭圆点近旁的结构158

13 曲面在双曲点近旁的结构159

14 曲面在抛物点近旁的结构161

15 曲面与其切平面切底面交线163

16 二次曲面底点164

17 球面映像164

18 总曲率底符号166

第九章曲面上重要的网与线168

1 共轭方向168

2 共轭网169

3 迁移曲面171

4 渐近曲线172

5 曲率线174

6 曲率线底方程式175

7 零曲率曲面179

8 由脐点组成的曲面180

第十章曲面底本然几何学180

1 扭曲与贴合180

2 贴合底判定181

3 曲面底本然几何学182

4 可展曲面底扭曲183

5 曲面底相伴三面形184

6 曲面单位切向量底微分186

7 测地曲率187

8 测地线189

9旋转曲面底测地线191

10 半测地坐标192

11 测地线与短程线194

12 相伴三面形底系数195

13 基本二次形式决定曲面195

14 Gauss定理197

15 保角映像198

16 球极射影199

17 定Gauss曲率曲面底线素201

18 定曲率曲面底贴合202

19 拟球面203

20 拟球面底测地线204

第十一章平行移动205

1 属于曲面的向量205

2 本然的平行移动206

3 曲线在平面上的展开207

4 测地曲率与测地线208

5 球面多角形底面积209

6 向量沿球面闭路径的平行行程210

7 向量沿任意曲面的平行行程211

8 Gaus-Bonnet定理213

9 测地三角形214

10 关于多连区域的Gaus-Bonnet定理216

11 闭曲面底整曲率217

中俄名词索引219