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目录1

绪论1

第一章曲线论3

§1．挠曲线的解析表示3

1．切线5

2．曲线弧5

3．曲率8

4．密切平面9

习题10

§2．Frenet公式11

§3．自然方程16

习题16

1．基本定理17

2．存在定理18

习题23

§4．规范展开活动标架23

1．Bouquet公式23

2．Cesàro恒等条件26

习题30

§5．密切圆密切球30

习题33

§6．曲线弧长的第一变分34

1．平面曲线36

习题36

§7．平面曲线等周问题36

2．卵形线37

3．等周问题41

Crone及Frobenius定理42

Hurwitz的证明44

§8．特殊挠曲线48

1．一般螺线48

2．Bertrand曲线51

3．Mannheim曲线55

§9．极小曲线56

1．自然参数56

2．基本定理58

3．极小曲线的方程61

习题62

§10．曲线的整体性质63

1．四顶点定理63

2．Fenchel定理65

习题67

§11．可展曲面69

1．直纹面69

2．Cesàro曲线71

3．渐缩线及渐伸线72

习题74

§12．Darboux方法74

总习题76

1．第一基本形式曲面的线素78

第二章曲面论78

§13．基本形式78

2．曲面的法线和切平面82

3．第二基本形式84

习题85

§14．极小曲线渐近曲线86

1．极小曲线86

2．渐近曲线88

3．共轭曲线网90

§15．曲面上曲线的曲率92

1.法曲率92

2．Meusnier定理93

3．总曲率平均曲率94

4．Euler定理Dupin标线95

习题97

§16．曲率线98

1．曲率线的新定义98

2．Darboux定理101

3．曲率线的又一个定义102

习题104

§17．测地挠率107

习题110

§18．两曲面之间的保角对应111

1.保角对应111

2．地图的制法115

3．Liouville定理118

习题123

§19.Gauss的球面表示125

1.第三基本形式Weingartea公式125

2．Gauss定理127

3．Beltrami-Ennepre定理128

习题128

§20．Beltrami的微分参数129

1．代数学的一个定理129

2．Beltrami的第一阶微分参数131

3．Beltrami的第二阶微分参数133

习题137

§21．测地线138

1．测地线的定义138

2．测地曲率141

3．测地线坐标144

4．O．Bonnet公式145

5．Liouville公式146

6．求测地线的Darboux方法148

习题151

§22．两曲面间的测地线对应153

1．Beltrami定理153

2．Dini定理159

1．Gauss曲率K163

习题163

§23．曲面上的几何学163

2．测地线166

3．关于测地线三角形的Gauss定理168

4．测地线离差170

5．Gauss-Bonnet公式171

6．Levi-Civita的平行移动概念177

习题183

§24．常总曲率的曲面与非欧几何学185

1．Poincaré上半平面的表示185

2．非欧几何学190

习题195

1．简史197

§25．绝对微分学197

2．张量198

3．测地线的微分方程203

4．Levi-Civita的平行移动206

5．Christoffel的共变微分210

6．Riemann的曲率张量213

7．沿无穷小平行四边形的循环移动217

习题219

§26．曲面论基本方程221

1．关于曲面线素的Christoffel记号221

2．基本微分方程223

3．可积分条件224

习题228

§27．基本定理231

习题235

§28．曲面变形论236

1．定义236

2．变形论第一问题237

3．变形论第二问题243

习题250

§29．极小曲面252

1．简史252

2．Weierstrass公式254

3．Schwarz公式259

4．附属极小曲面265

5．单侧极小曲面266

6．Plateau问题268

7．曲率线都是平面曲线的极小曲面274

习题276

§30．W曲面278

1．定义及基本量278

2．1W曲面的一个特征283

习题286

§31．用运动学讨论曲面的方法286

1.运动学初步公式286

2．应用290

3．曲率线法曲率测地曲率及Laguerre定理292

4．曲面的基本方程296

5．Beltrami定理与Bonnet定理300

总习题304

第三章线汇论306

§32.直纹面306

1.一些重要元素306

2．一些定理309

3．Minding关于直纹面变形的研究312

4．Beltrami关于直纹面变形的研究313

5．Bonnet定理316

习题317

1.简史318

§33.直线汇的Kummer表示法318

2．Kummer的基本形式319

3．Malus与Dupin定理320

§34．直线汇的附属元素323

1.可展曲面323

2．二叶焦曲面及中点曲面325

3．极限点327

§35.Sannia的理论331

1.Sannia的基本形式331

2．基本定理333

习题336

1.对偶数与直线坐标338

§36.Study的推移原理338

2．对偶点与Sannia的基本形式340

习题343

§37．导来直线汇343

1．定义343

2．分析表示344

习题346

§38．主要曲面和可展曲面的球面表示347

1．主要曲面347

2．可展曲面350

§39．极小线汇350

1．定义350

2．极小直线汇的性质352

§40．Guichard直线汇355

1．定义355

2．Guichard线汇与Voss曲面356

§41．W直线汇358

1．定义358

2．Lelieuvre公式359

3．W直线汇的决定361

§42．圆汇与曲线汇364

1.Ribaucour定理364

2．法圆汇365

3．拟球与法圆汇370

总习题373