《微分几何 第2版》求取 ⇩

第一章曲线论1

1 向量代数复习1

2 向量函数10

2.1 向量函数的极限11

2.2 向量函数的连续性13

2.3 向量函数的微商14

2.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式17

2.5 向量函数的积分18

3 曲线的概念22

3.1 曲线的概念23

3.2 光滑曲线曲线的正常点26

3.3 曲线的切线和法面28

3.4 曲线的弧长自然参数32

4 空间曲线38

4.1 空间曲线的密切平面38

4.2 空间曲线的基本三棱形42

4.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式46

4.4 空间曲线在一点邻近的结构53

4.5 空间曲线论的基本定理56

5 特殊曲线62

5.1 平面曲线62

（1）平面曲线的伏雷内标架63

（2）平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆64

（3）平面曲线的伏雷内公式71

（4）平面曲线在一点邻近的结构73

（5）平面曲线的渐缩线和渐伸线75

5.2 一般螺线81

5.3 贝特朗（Bertrand）曲线84

第二章曲面论89

1 曲面的概念89

1.1 简单曲面及其参数表示89

1.2 光滑曲面曲面的切平面和法线92

1.3 曲面上的曲线族和曲线网98

2 曲面的第一基本形式101

2.1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长101

2.2 曲面上两方向的交角104

2.3 正交曲线族和正交轨线105

2.4 曲面域的面积106

2.5 等距变换107

2.6 保角变换111

3 曲面的第二基本形式114

3.1 曲面的第二基本形式114

3.2 曲面上曲线的曲率119

3.3 杜邦（Dupin）指标线123

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向125

3.5 曲面的主方向和曲率线128

3.6 曲面的主曲率，高斯（Gauss）曲率和平均曲率132

3.7 曲面在一点邻近的结构138

3.8 高斯曲率的几何意义141

4 直纹面和可展曲面148

4.1 直纹面148

4.2 可展曲面152

5 曲面论的基本定理162

5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳（Christoffel）符号163

5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯－科达齐－迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式166

5.3 曲面论的基本定理171

6 曲面上的测地线177

6.1 曲面上曲线的测地曲率177

6.2 曲面上的测地线180

6.3 曲面上的半测地坐标网183

6.4 曲面上测地线的短程性186

6.5 高斯－波涅（Gauss-Bonnet）公式189

6.6 曲面上向量的平行移动192

6.7 极小曲面198

7 常高斯曲率的曲面203

7.1 常高斯曲率的曲面203

7.2 伪球面205

7.3 罗氏几何210

第三章外微分形式和活动标架215

1 外微分形式215

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数215

1.2 外微分形式220

1.3 弗罗皮尼斯（Frobenius）定理229

2 活动标架246

2.1 合同变换群246

2.2 活动标架249

2.3 活动标架法258

3 用活动标架法研究曲面261

3.1 曲面论的基本定理261

3.2 曲面的第一和第二基本形式263

3.3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率264

3.4 曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率266

3.5 曲面上向量的平行移动268

3.6 闭曲面高斯－波涅公式271

第四章整体微分几何初步276

1 平面曲线的整体性质276

1.1 旋转数277

1.2 凸曲线283

1.3 等周不等式289

1.4 四顶点定理292

1.5 等宽曲线294

1.6 平面上的Crofton公式296

2.1 Fenchel定理301

2 空间曲线的整体性质301

2.2 球面上的Crofton公式308

2.3 Fary-Milnor定理310

2.4 闭曲线的全挠率315

3 曲面的整体性质319

3.1 曲面的整体定义319

3.2 曲面的一般性质323

3.3 卵形面327

4 紧致曲面的高斯－波涅公式和欧拉示性数347

4.1 紧致曲面的三角剖分347

4.2 紧致曲面的欧拉示性数349

4.3 紧致定向曲面的亏格（gerus）349

4.4 紧致曲面的高斯－波涅公式351

4.5 紧致曲面上的向量场352