《微分方程近似解》

目录1

1 引论1

1.1微分方程的基本概念1

1.2阶的符号4

1.3向量与矩阵的范数7

1.4迭代法基础10

习题14

2常微分方程初值问题的数值解法16

2.1 初值问题解的存在性和唯一性17

2.2 Euler（欧拉）法19

2.3改进Euler法24

2.4 Runge-Kutta （龙格－库塔）法29

2.5线性多步法36

2.5.1 Adams-Bashforth（阿达姆斯－贝雪福斯）公式37

2.5.2 Adams-Moulton（阿达姆斯－莫尔顿）公式40

2.6稳定性概念43

2.7刚性方程45

习题47

3常微分方程边值问题的数值解法50

3.1边值问题解的存在性和唯一性50

3.2二阶常微分方程的打靶法52

3.3微分方程组边值问题的打靶法64

3.4多重打靶法67

3.5有限差分近似69

3.6线性边值问题的差分法72

3.6.1差分方程的建立73

3.6.2差分方程的可解性与解法74

3.6.3差分解的收敛性78

3.6.4其他边界条件81

3.7非线性问题的差分法82

3.8 Richardson（李查逊）外推法88

习题93

4偏微分方程的差分方法97

4.1网格划分97

4.2椭圆型方程的差分格式99

4.3边界条件的处理104

4.3.1矩形区域105

4.3.2一般区域105

4.4五点差分格式的迭代解法108

4.5一维抛物型方程的古典差分格式118

4.5.1古典显格式120

4.5.2古典隐格式122

4.6 Crank-Nicolson（克兰克－尼科尔森）格式124

4.7差分格式的收敛性和稳定性129

4.8二维交替方向法136

4.9双曲型方程的差分格式143

习题146

5奇异摄动法149

5.1渐近序列和渐近展开式149

5.2正则摄动问题的解法152

5.2.1级数展开法154

5.2.2参数微分法156

5.2.3逐次逼近法158

5.3正则摄动法的失效164

5.4.1变形参数法169

5.4变形坐标法169

5.4.2变形坐标法173

5.4.3重正化技巧177

5.5渐近展开匹配法179

5.5.1 边界层179

5.5.2 Prandtl（普兰特）匹配原则182

5.5.3 一个二阶边值问题的边界层185

5.5.4 Van Dyke（范戴克）匹配原则188

5.6多重尺度法193

5.6.1导数展开法195

5.6.2两变量展开法196

5.6.3非线性多重尺度法198

习题201

6.1变分问题203

6变分原理203

6.2变分205

6.3 Euler方程207

6.4自然边界条件210

6.5变分原理213

6.5.1线性微分算子213

6.5.2常微分方程边值问题的变分原理215

6.5.3偏微分方程边值问题的变分原理219

6.6变分问题的近似解法——Ritz（里兹）法224

习题229

7加权余量法231

7.1加权余量法的基本思想231

7.2 MWR的基本方法233

7.3二维偏微分方程化为常微分方程求解238

7.4基函数的选取244

7.5用MWR解混合问题247

7.6正交多项式251

7.7正交配置法254

7.7.1对称问题的正交配置法254

7.7.2非对称问题的正交配置法260

习题263

8有限元法与其他课题266

8.1一维问题有限元法266

8.1.1单元划分和构造插值函数267

8.1.2单元刚度矩阵和单元荷载向量269

8.1.3总刚度矩阵和总荷载向量270

8.1.4边界条件的处理272

8.1.5有限元法的计算步骤274

8.2二维问题有限元法278

8.2.1单元划分279

8.2.2构造插值函数279

8.2.3单元刚度矩阵和单元荷载向量的计算282

8.2.4总刚度矩阵和总荷载向量的形成285

8 2.5有限元方程组286

8.3多重网格法293

8.3.1双重网格法293

8.3.2多重网格法297

8.4 解Poisson方程的FFT算法299

8.4.1 离散Fourier（富里叶）变换299

8.4.2 FFT算法301

8.4.3 Poisson方程第一边值问题的FFT解法308

习题310