《数学物理方程的近似解》

第一章 有限元法及在偏微分方程中的应用1 泛函与变分1

1.1 泛函分析概要1

Ⅰ 函数空间1

Ⅱ 函数的内积和微分算子3

1.2 泛函与广义函数5

Ⅰ 泛函的概念5

Ⅱ 广义函数6

1.3 变分法6

Ⅰ 泛函的变分6

Ⅱ 泛函的极值7

Ⅲ 几个著名的变分问题7

Ⅳ 泛函取极值的必要条件9

Ⅴ 变分原理12

Ⅵ 变分问题的直接法15

2 有限元法22

2.1 有限元法的基本原理22

2.2 有限元法的过程分析23

3 有限元法在偏微分方程中的应用26

3.1 泊松方程的边值问题26

3.2 交变场方程的有限元法38

Ⅰ 引言38

Ⅱ 波动方程的有限元解法39

Ⅲ 平面问题的三角形单元40

Ⅳ 矩形单元43

Ⅴ 四面体单元44

4 有限元解的收敛性45

习题一46

第二章 积分方程及其矩量法解49

1 积分方程49

1.1 基本问题49

Ⅰ 方程及其分类49

Ⅱ 基本积分式52

1.2 积分方程与微分方程间的关系53

Ⅰ 二阶线性微分方程的初值问题53

Ⅱ 格林函数与核55

1.3 本征值理论61

Ⅰ 带可分核的Fradholm积分方程61

Ⅱ 本征值理论64

1.4 Neumann理论65

Ⅰ 迭代法及解的收敛性65

Ⅱ 迭核与预解核68

1.5 积分方程组70

1.6 非线性积分方程71

2 数值解法75

2.1 代数方程组逼近法75

2.2 矩量法及其应用76

Ⅰ 基本原理76

Ⅱ 基函数与权函数的选取78

Ⅲ 矩量法应用于积分方程78

2.3 Volterra积分方程的近似解及其收敛性81

习题二83

第三章 摄动法85

1 基本问题85

1.1 基本原理85

1.2 量纲分析与尺度理论88

2 摄动方法介绍90

2.1 正则摄动法91

2.2 奇异摄动法引论95

3 变形参数法与变形坐标法97

3.1 变形参数法97

3.2 变形坐标法100

3.3 变形参数法的推广103

4 渐近展开匹配法104

5 合成展开法111

6 多重尺度法116

6.1 导数展开法116

6.2 两变量展开法119

6.3 非线性多重尺度法122

7 摄动问题解的存在及其估计125

习题三127

习题答案128