《数学物理方程》

绪论1

第一章波动方程9

1 一维波动方程的导出9

1.1 方程的导出9

1.2 定解条件15

1.3 定解问题17

1.4 定解问题的适定性18

习题一20

2 Cauchy问题21

2.1 D Alembert解法22

2.2 波的传播26

2.3 依赖区域，决定区域与影响区域30

2.4 Duhamel原理31

2.5 半无界问题37

习题二46

3 混合问题49

3.1 分离变量法49

3.2 非齐次问题的处理57

3.3 解的物理意义，谐振与共振62

习题三66

4 适定性讨论，能量不等式69

4.1 混合问题69

4.2 Cauchy问题75

4.3 特征线与适定性81

习题四84

5 高维波动方程86

5.1 Cauchy问题86

5.2 混合问题100

习题五108

1 方程的导出与定解问题110

1.1 方程的导出110

第二章热传导方程110

1.2 定解问题的提法114

1.3 热传导方程在柱坐标系与球坐标中的形式116

习题六117

2 混合问题117

2.1 有界杆的热传导118

2.2 非齐次问题的处理121

2.3 二维混合问题123

习题七127

3 Fourier变换与Cauchy问题129

3.1 Fourier变换的定义129

3.2 Fourier变换的基本性质135

3.3 用Fourier变换解Cauchy问题142

3.4 多维Cauchy问题与Fourier变换简介151

习题八153

4.1 极值原理156

4 极值原理156

4.2 混合问题解的最大模估计159

4.3 Cauchy问题解的最大模估计163

4.4 热传导方程的一个不适定的例165

习题九166

第三章位势方程169

1 方程的导出与定解问题169

1.1 方程的导出169

1.2 定解问题的提法173

习题十174

2 极值原理175

2.1 弱极值原理175

2.2 强极值原理180

2.3 最大模估计，解的唯一性与稳定性185

2.4 能量模估计189

习题十一190

3.1 特殊区域上的Dirichlet问题192

3 平面上Laplace方程的解192

3.2 Neumann问题203

3.3 解析函数与调合函数，保角变换与分式线性变换205

3.4 用保角变换法求解平面上的Laplace方程的Dirichlet问题207

习题十二213

4 Green函数215

4.1 Green公式，基本积分公式215

4.2 Green函数及其性质219

4.3 某些特殊区域上的Green函数225

习题十三234

第四章二阶线性偏微分方程236

1 三类古典方程的比较236

2 两个自变量的二阶方程239

2.1 方程的分类239

2.2 特征方程与特征线244

2.3 化二阶方程为标准型246

3 多变量的二阶方程250

3.1 方程的分类250

3.2 特征理论259

3.3 化多变量的二阶方程为标准型265

习题十四272

第五章一阶偏微分方程组275

1 引言275

1.1 一阶偏微分方程组实例275

1.2 高阶偏微分方程组277

2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组280

2.1 特征理论280

2.2 一阶线性偏微分方程组的分类283

2.3 化狭义双曲组为对角型284

习题十五288

3 两个自变量的一阶线性双曲组的Cauchy问题291

3.1 存在唯一性291

3.2 一致稳定性298

3.3 依赖区域、决定区域与影响区域299

4 两个自变量的一阶线性双曲组的其它定解问题300

4.1 广义Cauchy问题302

4.2 Goursat问题303

4.3 混合问题304

习题十六306

5 幂级数解法，Cauchy—Ковалевская定理307

5.1 幂级数解法307

5.2 Cauchy-Ковалевская定理313

习题十七321

第六章广义函数与偏微分方程的基本解323

1 广义函数的概念323

1.1 引言323

1.2 广义函数的概念324

1.3 基本空间C∞(1Rn)，C∞(1Rn)，?(1Rn)325

1.4 ?(1Rn)，?(1Rn)，?(1Rn)广义函数330

2.2 广义函数的乘子332

2 广义函数的性质与运算332

2.1 广义函数的加法与数乘332

2.3 关于自变量的平移与相似333

2.4 广义函数的极限334

2.5 广义函数的导数336

2.6 广义函数的卷积339

习题十八340

3 广义函数的Fourier变换342

3.1 ?(1Rn)上的Fourier变换342

3.2 ?(1Rn)上的Fourier变换346

4 基本解350

4.1 基本解的概念350

4.2 偏微分方程的基本解351

4.3 Cauchy问题的基本解360

习题十九365

附录 Fourier变换表366