《数学物理方程》

1引言1

1 二阶线性偏微分方程1

1.1 二阶线性偏微分方程1

1.2 定解条件3

2 正交曲线坐标系6

2.1 正交曲线坐标的一般理论6

2.2 圆柱坐标和球坐标10

3 δ函数15

3.1 δ函数的定义15

3.2 δ函数的性质16

3.3 δ函数的辅助函数18

2FOURIER 积分 FOURIER 变换24

1 周期函数的 FOURIER 级数24

1.1 以2π为周期的函数展成 Fourier 级数24

1.2 周期为 2l 的函数展成 Fourier 级数28

2 有限间隔上非周期函数的 FOURIER 级数33

3 FOURIER 积分38

3.1 无界区域的 Fourier 积分38

3.2 复数形式的 Fourier 积分41

3.3 多重复数形式的 Fourier 积分42

4 FOURIER 变换44

4.1 Fourier 变换45

4.2 Fourier 变换的性质46

3波动方程50

1 方程的导出和定解问题51

1.1 弦的横振动方程51

1.2 杆的纵振动55

1.3 电报方程56

1.4 二维波动方程 膜的横振动56

1.5 三维波动方程 电磁波方程57

2 波动方程的初值问题63

2.1 无界弦的自由振动 D’Alembert 公式63

2.2 无界弦的受迫振动 Fourier 变换法67

2.3 三维波动方程的初值问题基本解73

3 有界弦的自由振动 分离变量法82

3.1 分离变量法 第一类齐次边界82

3.2 解的物理意义86

3.3 第二类齐次边界条件的定解问题91

4 有界域的定解问题95

4.1 有界弦的受迫振动 本征函数展开法95

4.2 非齐次边界条件问题 边界条件齐次化98

4.3 Green 函数102

5 应用举例108

5.1 矩形区域二维波动方程的定解问题108

5.2 波导和色散111

4热传导方程115

1 方程的导出和定解问题115

1.1 热传导方程115

1.2 扩散方程120

2 初值问题123

2.1 无界区域的初值问题123

2.2 半无界区域的初值问题129

3 有界域上的定解问题142

3.1 第一类边界条件的定解问题142

3.2 第二类边界条件的定解问题145

3.3 第三类边界条件的 Green 函数148

4 应用举例156

4.1 烟囱冒烟的扩散156

4.2 Stefan 问题158

1 定解问题的提法163

5LAPLACE 方程163

2 三维 LAPLACE 方程基本解165

3 有界域的定解问题168

3.1 矩形区域上的定解问题168

3.2 圆域上的定解问题173

4 调和函数的性质181

4.1 Green 公式181

4.2 调和函数的性质184

6BESSEL 函数及其应用187

1 圆柱坐标下的 HELMHOLTZ 方程 LAPLACE 方程187

1.1 Helmholtz 方程187

1.2 圆柱坐标下的 Helmholtz 方程和 Bessel 方程188

1.3 Sturm-Liouville 方程的本征值问题190

1.4 按正交函数系展开的广义 Fourier 级数196

2 BESSEL 函数199

2.1 整数阶 Bessel 函数200

2.2 Bessel 函数的性质204

2.3 Bessel 方程的解206

2.4 Fourier-Bessel 级数207

3 NEUMANN 函数和 HANKEL 函数215

3.1 Neumann 函数215

3.2 Hankel 函数218

3.3 Wronskian 公式218

4 例题222

5 其它类型 BESSEL 函数229

5.1 修正 Bessel 函数229

5.2 半奇数阶 Bessel 函数233

5.3 球 Bessel 函数235

5.4 可转化为 Bessel 方程的方程239

6.1 与 Bessel 函数有关的公式245

6 有关 BESSEL 函数的补充内容245

6.2 Bessel 函数的积分表达式251

6.3 含 Bessel 函数的积分253

7 应用举例二个接地导体平面间的 Green 函数255

7LEGENDRE 函数及其应用266

1 球坐标下的 HELMHOLTZ 方程和 LAPLACE 方程266

2 LEGENDRE 多项式268

2.1 Legendre 方程268

2.2 Legendre 多项式268

2.3 Legendre 多项式的性质272

2.4 Fourier-Legendre 级数277

2.5 具有轴对称性的物理问题举例281

3 连带 LEGENDRE 多项式288

3.1 连带 Legendre 多项式288

3.2 连带 Legendre 多项式的性质289

4.1 球函数291

4 球函数291

4.2 球函数的加法定理294

5 应用举例 球体对平面(声)波的散射298

8数值方法 差分法305

1 将微分方程化成差分方程306

2 LAPLACE 方程的差分格式310

3 热传导方程的差分格式314

4 波动方程的差分格式317

附录Ⅰ 常微分方程的解法320

附录Ⅱ 误差函数323

附录Ⅲ Γ 函数324

附录Ⅳ FOURIER (傅立叶)变换表328

附录Ⅴ LAPLACE (拉普拉斯)变换329

附录Ⅵ BESSEL (贝塞尔)函数的多项式近似333

参考文献337

英汉人名对照338