《数学物理方程》

第一章引言1

1 方程的推导1

1.1 均匀弦的横振动与波动方程1

1.2 热传导方程5

1.3 Laplace方程和Poisson方程9

练习1-110

2 偏微分方程的一些定义11

3 定解条件与定解问题12

练习1-212

3.1 弦振动方程的初始条件和边界条件13

3.2 热传导方程的初始条件和边界条件17

3.3 定解问题的提法19

练习1-320

4 两个自变量的二阶线性方程的分类与化简21

4.1 两个自变量的二阶线性方程的分类22

4.2 两个自变量的二阶线性方程的化简24

5 多个自变量的二阶线性方程的分类32

练习1-432

练习1-538

6 定解问题的适定性38

6.1 定解问题的适定性概念38

6.2 不适定问题举例41

6.3 不适定问题有待研究43

习题144

第二章波动方程47

1 弦振动方程的初值问题47

1.1 无界弦的自由振动 d Alembert公式47

1.2 波的传播 依赖区域决定区域和影响区域49

1.3 迭加原理55

1.4 无界弦的受迫振动57

1.5 齐次化原理(Duhamel原理)61

练习2-164

2.1 三维齐次波动方程初值问题的球平均法65

2 高维波动方程的初值问题65

2.2 三维非齐次波动方程初值问题的解推迟势71

2.3 二维波动方程初值问题的降维法73

2.4 依赖区域 决定区域 影响区域与特征锥76

2.5 三维波与二维波在传播上的区别 Huygens原理 波的弥散80

练习2-283

3 半无界弦的混合问题84

练习2-389

4 有界域上混合问题的分离变量法89

4.1 齐次边界条件下有界弦的自由振动 分离变量法90

4.2 解的存在性93

4.3 解的物理意义100

4.4 齐次定解条件下有界弦的受迫振动 齐次化原理102

4.5 非齐次边界条件下非齐次方程的混合问题边界条件的齐次化104

4.6 分离变量法的进一步应用举例——矩形膜的横振动106

练习2-4109

5.1 二维波动方程的能量积分 能量不等式 混合问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性110

5 波动方程定解问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性110

5.2 波动方程初值问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性117

习题2123

第三章热传导方程129

1 有界域上的混合问题和分离变量法129

1.1 齐次边界条件下齐次热传导方程混合问题的分离变量法130

1.2 解的存在性132

1.3 齐次决定解条件下非齐次热传导方程的混合问题 齐次化原理134

1.4 边界条件的齐次化135

练习3-1137

2 Fourier变换和Laplace变换138

2.1 Fourier积分和Fourier变换138

2.2 Laplace变换143

2.3 Fourier变换和Laplace变换的基本性质148

3.1 应用Fourier变换解初值问题154

练习3-2154

3 Fourier变换和Laplace变换的应用154

3.2 解的存在性157

3.3 应用Laplace变换解半无界域上的混合问题162

4 极值原理与解的唯一性和稳定性164

4.1 极值原理164

4.2 混合问题解的唯一性和稳定性166

4.3 初值问题解的唯一性和稳定性167

习题3170

第四章Laplace方程176

1 定解问题的提法176

练习4-1179

2 分离变量法180

2.1 矩形区域上的Dirichlet问题180

2.2 圆上的Dirichlet问题184

2.3 Poisson方程的Dirichlet问题192

练习4-2194

3 基本解 Green公式与Green函数195

3.1 基本解195

3.2 Green公式与调和函数的积分表达式195

3.3 Green函数199

练习4-3210

4 调和函数的基本性质 边值问题 解的唯一性和稳定性210

4.1 三维空间区域上调和函数的基本性质210

4.2 边值问题解的唯一性和稳定性213

4.3 调和函数的另外一些重要性质219

5 一般区域上的Dirichlet问题解的存在证明(Perron方法)224

5.1 上(下)调和函数与上(下)函数及其性质224

5.2 上函数集的下确界的调和性228

5.3 Dirichlet问题的解231

6 Poisson方程的Dirichlet问题的解233

习题4239

1 实值解析函数与优函数243

附录Ⅰ1Cauchy-Ковалевская定理243

2 常微分方程的解析解246

3 Cauchy-Кова.левская定理——一阶偏微分方程情况249

4 Cauchy-Кова.левская定理——高阶偏微分方程情况256

附录Ⅱ特殊函数(一)Bessel函数260

1 Bessel方程的引入260

2 Bessel方程的解261

3 Bessel函数的递推公式265

4 Bessel函数的生成函数和积分形式268

5 Bessel函数的零点270

6 Bessel函数的正交性271

7 Bessel函数对边值问题的应用274

附录Ⅱ2特殊函数(二)Legendre多项式278

1 Legendre方程的引入278

2 Legendre方程的求解280

3 Legendre多项式281

4 Legendre多项式的Rodrigues表达式284

5 Pn(X)的生成函数286

6 Legendre多项式Pn(X)的正交性289

7 Legendre多项式的应用——球形域内的电势分布291

附录Ⅲ Fourier变换表和Laplace变换表294

附录Ⅳ历史简介296

1 弦振动方程与分离变量法296

2 热传导方程与Fourier级数300

3 Laplace方程与势论305

4 Cauchy-Ковалевская定理312

5 Fourier积分314

6 新发展素描318

文献327

练习与习题参考答案与提示328

索引349