《数学物理方程》求取 ⇩

第一章波动方程3

1.方程的导出.定解条件3

1.弦振动方程的导出3

2.定解条件7

3.定解问题适定性概念9

习题11

2.达朗贝尔(d’Alembert)公式.波的传播12

1.迭加原理12

2.弦振动方程的达朗贝尔解法13

3.传播波16

4.影响区域、依赖区域和决定区域17

5.齐次化原理19

习题23

3.混合问题的分离变量法24

1.引言24

2.分离变量法26

3.解的存在性30

4.非齐次方程的情形33

5.非齐次边界条件的情形34

习题35

1.膜振动方程的导出36

4.高维波动方程的柯西问题36

2.定解条件的提法40

3.三维波动方程柯西问题的解41

4.降维法46

5.依赖区域，决定区域和影响区域48

6.惠更斯(Huygens)原理，波的弥散50

7.非齐次波动方程柯西问题的解.推迟势52

习题54

5.能量不等式.波动方程解的唯一性和稳定性55

1.振动的动能和位能55

2.混合问题解的唯一性与稳定性57

3.柯西问题解的唯一性与稳定性61

4.波动方程的广义解65

习题68

第二章热传导方程69

1.热传导方程及其定解问题的提出69

1.热传导方程的导出69

2.定解问题的提法71

3.扩散方程73

习题75

2.混合问题的分离变量法76

1.一个空间变量的情形76

2.圆形区域上的热传导问题77

习题79

3.柯西问题80

1.富里埃变换及其基本性质80

2.热传导方程柯西问题的求解84

3.解的存在性85

习题87

4.极值原理.定解问题的解的唯一性和稳定性89

1.极值原理89

2.混合问题解的唯一性与稳定性90

3.柯西问题解的唯一性和稳定性91

习题93

第三章调和方程94

1.建立方程.定解条件94

习题98

2.格林公式及其应用99

1.格林(Green)公式99

2.平均值定理103

3.极值原理104

4.第一边值问题的唯一性及稳定性105

5.共轭微分算子与共轭边值问题107

3.格林函数109

1.格林函数及其性质109

习题109

2.静电源象法113

3.解的验证118

4.单连区域的格林函数120

5.调和函数的基本性质121

习题124

4.强极值原理.第二边值问题的唯一性126

1.强极值原理126

2.第二边值问题的唯一性129

习题131

1.两个自变量的方程133

1.二阶方程的分类133

第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结133

2.两个自变量的二阶方程的化简134

3.方程的分类138

4.举例140

5.多个自变量的方程的分类141

习题143

2.二阶方程的特征理论144

1.特征概念144

2.特征方程146

3.举例148

习题150

1.线性方程和迭加原理151

3.三类方程的比较151

2.解的性质的比较153

3.定解问题提法的比较157

习题162

第五章一阶偏微分方程组.特征理论163

1.引言163

1.一阶偏微分方程组的例子163

2.与高阶方程组的关系166

习题172

1.特征方向.特征线173

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论173

2.两个自变量一阶偏微分方程组的分类175

3.狭义双曲型化为对角型176

习题180

3.两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题182

1.存在性与唯一性182

2.对初始条件的连续依赖性187

3.依赖区域、决定区域、影响区域188

4.关于柯西问题提法的正确性的附注190

习题191

4.两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题192

1.广义柯西问题193

2.古尔沙问题194

5.两个自变量的一阶拟线性偏微分方程组196

习题196

1.特征理论197

2.狭义双曲型方程组的化简199

3.拟线性方程组的局部可解性201

习题202

6.幂级数解法.柯西-柯娃律夫斯卡娅定理204

1.幂级数解法204

2.柯西-柯娃律夫斯卡娅定理207

习题213

1.广义函数的概念216

第六章广义函数与基本解216

1.广义函数概念与基本空间216

2.基本空间C∞(Rn)，C∞c(Rn)220

3.基本空间？(Rn)222

4.？(Rn)，?1(Rn)，?1(Rn)广义函数224

习题227

2.广义函数的性质与运算228

1.广义函数的极限228

2.广义函数的导数230

3.广义函数的乘子231

4.广义函数的卷积232

习题236

3.广义函数的富里埃变换237

1.?(Rn)上的富里埃变换237

2.?(Rn)上的富里埃变换240

习题243

4.基本解244

1.基本解的概念244

2.热传导方程的基本解245

3.椭圆型方程的基本解246

4.柯西问题的基本解249

5.基本解的物理意义253

6.其他类型的基本解255

习题256

第七章差分法257

1.调和方程第一边值问题的五点差分格式257

1.基本概念257

2.五点格式260

3.差分方程的求解263

4.差分格式的收敛性267

5.第三类边界条件的处理268

习题270

2.热传导方程的差分格式271

1.显式差分格式的建立271

2.差分格式的收敛性273

3.显式格式I的稳定性275

4.隐式格式II及其稳定性282

习题287

3.波动方程和双曲型方程组的差分法288

1.一维波动方程混合问题的差分格式288

2.C.F.L.条件(Courant-Friedrichs-Lewy条件)289

3.拟线性双曲型方程组的差分法291

习题294

第八章有限元素法296

1.变分原理296

习题302

1.网格的划分303

2.有限元素法计算格式的形成303

2.列出计算格式304

3.解法310

习题310

3.有限元素法与差分法的比较310

1.模型问题举例310

2.两种方法的比较318

习题319

附录Ⅰ 变分问题广义解的存在性以及有限元素法的收敛性321

附录Ⅱ 特殊函数330

附录Ⅲ 富里埃变换表342