《数学物理方法》

前言页1

序言1

引言1

第0章 引论1

0 数学物理与数学模型1

1 数学模型与黑箱4

2 三类经典的数学物理方程5

3 基本定义和定解条件9

4 方程的分类与化简10

第一章 泛函分析一些知识15

0 从数直线谈起15

1 Hilbert空间17

2 若干重要几何定理18

3 直交性与Fourier级数24

4 对偶空间27

5 线性算子31

6 Lax-Milgram定理和Stampacchia定理35

7 单位分解39

8 Sobolev空间40

第二章 外微分方法54

0 引言54

1 外微分54

2 Poincar?定理与逆定理57

3 星运算与上微分59

4 变分原理与守恒定律61

5 并矢与Green定理的推广61

6 实复转化64

7 电磁动力学65

8 流体动力学74

9 低速质点动力学75

10 高速质点动力学80

0 函数的正交展开问题85

第三章 正交展开法85

1 Parseval等式88

2 三角级数的收剑性90

3 三角级数的一致收敛性93

4 二重Fourier级数95

5 在定解问题中的应用98

第四章 分离变量法105

0 基本思想105

1 齐次方程混合问题106

2 非齐次方程的求解问题110

3 非齐次边界条件的处理111

4 其它定解问题113

5 Bessel函数117

6 Legendre函数122

0 映射反演方法129

1 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理129

第五章 积分变换方法129

2 Fourier变换133

3 Laplace变换137

4 高维情况141

5 空间Hs(Rn)145

6 空间Hs(Ω)149

7 软化子及其性质150

0 适定性问题154

第六章 偏微分方程问题适定性154

1 弦振动方程157

2 Laplace方程163

3 热传导方程170

第七章 变分方法174

0 引言174

1 数学物理中的变分原理175

2 非线性算子与变分逆问题180

3 算子谱的极小问题187

4 变分等价性191

5 变分适定性197

第八章 直接方法205

0 引言205

1 Rietz方法206

2 Galerkin方法212

3 最小二乘方法217

4 加权余量方法222

5 边界元方法224

6 配点方法228

7 余量嵌入方法229

8 半离散Galerkin方法229

第九章 有限元方法231

0 内逼近231

1 有限元方法234

2 障碍问题243

第十章 摄动方法249

0 引言249

1 基本术语250

2 椭圆型方程的奇摄动251

3 双曲型方程的奇摄动256

4 内部层现象258

5 积分方程的奇摄动260

6 离散逼近264

7 两种奇摄动理论266

8 几点注释275

第十一章 初值问题279

0 初值问题与特征279

1 解的存在与唯一性281

2 弱解存在的充要条件283

3 双曲型算子285

4 双曲型方程解的存在性与Holmgren定理287

第十二章 边值问题295

0 椭圆型方程295

1 变分形式296

2 第一边值问题(Dirichlet问题)299

3 其它边值问题308

4 在空间Rn上的一般二阶椭圆型方程311

5 弹性理论问题318

6 稳定流问题320

7 电磁场问题322

8 谱问题323

第十三章 初边值问题326

0 热传导方程326

1 一般抛物型方程328

2 二阶线性抛物型方程332

3 在Rn×］0，τ［上的二阶抛物型方程337

4 流体动力学问题342

5 几点注释344

第十四章 变分不等方程346

0 引言346

1 解的存在性351

2 解的正则性360

3 应用例子365

第十五章 非线性问题--分叉、怪引子、阵发性与浑沌375

0 引言375

1 分叉性与非线性动力系统376

2 无限与有限、连续与离散378

3 怪引子、阵发性与浑沌性383

4 确定性、随机性与测不准385

5 对称破缺与时空有序389

6 敏感性与普适性390

7 结束语393

附录395

附录一 记号395

附录二 Bessel函数J0(x)、J1(x)和J2(x)表397

附录三 积分变换表399

内容索引404

参考文献412