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第一篇场论1

第一章矢量函数1

第一节矢量函数的概念1

一 矢量函数的概念1

二 矢量函数的坐标表示法1

三 矢量函数的几何表示2

第二节矢量函数的导数3

一 矢量函数的极限与连续性3

二 矢量函数的导数3

第三节矢量函数的微分和积分8

一 矢量函数的微分8

二 矢量函数的积分10

习题一11

第二章场论13

第一节场13

一 场的概念13

二 场的分类13

三 数量场的等值面与矢量场的矢量线14

第二节数量场的梯度19

一 数量场的方向导数20

二 数量场的梯度22

第三节矢量场的散度28

一 矢量场的通量28

二 矢量场的散度30

三 散度在直角坐标系中的表达式31

四 散度的运算法则36

第四节矢量场的旋度37

一 矢量场的环量37

二 矢量场的旋度40

三 旋度在直角坐标系中的表达式42

四 旋度的运算法则46

第五节管量场、有势场与调和场48

一 管量场48

二 有势场与势函数49

三 调和场与调和函数50

习题二51

第二篇复变函数56

第一章复数与复变函数56

第一节复数及其运算56

一 复数及其表示法56

二 复数的运算60

三 共轭复数63

第二节复变函数65

一 复平面上的曲线65

二 复平面上的区域66

三 复变函数的概念70

第三节复变函数的极限和连续74

一 复变函数的极限74

二 复变函数的连续性75

习题一76

第二章解析函数79

第一节解析函数的概念79

一 复变函数的导数-79

二 解析函数的概念82

第二节 解析函数的充要条件83

第三节调和函数87

一 调和函数的定义87

二调和函数与解析函数的关系87

三 从已知调和函数u（x，y）或v（x，y）求解析函数v+iv的方法88

第四节初等函数91

一 指数函数91

二 对数函数93

三 幂函数95

四 三角函数及其反函数95

五 双曲函数及其反函数98

习题二99

第三章复变函数的积分102

第一节复变函数的积分102

一 复变函数积分的定义102

二 复变函数积分的简单性质103

三 复变函数积分可化为实二元函数的线积分104

四 复变函数积分的计算105

第二节柯西积分定理108

一 柯西积分定理108

二 柯西积分定理的推广——复合闭路定理110

第三节 柯西积分公式114

第四节 解析函数的高阶导数119

习题三123

第四章级数与留数127

第一节幂级数127

一 复数项级数127

二 复变函数项级数128

三 幂级数129

第二节泰勒级数135

一 泰勒定理135

二 解析函数展开成幂级数举例136

第三节 罗朗级数139

第四节孤立奇点146

一 孤立奇点的分类与性质146

二 零点与极点的关系150

第五节留数152

一 留数及留数定理152

二 留数的计算154

第六节应用留数定理计算某些实积分158

一 三角函数有理式的积分159

二 有理函数的广义积分161

习题四167

第五章保角映射172

第一节保角映射的概念172

一 解析函数的导数的几何意义172

二 保角映射的概念175

第二节 线性映射176

习题五180

第三篇积分变换181

第一章傅里叶变换181

第一节傅里叶级数的复数形式181

一 傅氏级数公式的复数形式181

二 周期函数的频谱概念183

第二节傅里叶积分186

一 傅氏积分公式的给出186

二 傅氏积分公式的其它形式188

第三节傅氏变换189

一 傅氏变换概念189

二 单位脉冲函数及其傅氏变换193

第四节傅氏变换性质197

一 线性性质198

二 平移性质198

三 微分性质200

四 积分性质202

习题一203

第二章拉普拉斯变换208

第一节拉氏变换的概念208

一 问题的提出208

二 拉氏变换定义208

三 拉氏变换与傅氏变换的关系208

四 拉氏变换的存在定理211

第二节拉氏变换的性质212

一 线性性质213

二 微分性质214

三 积分性质215

四 位移性质217

五 延迟性质218

六 周期性质220

七 初值定理与终值定理221

第三节拉氏逆变换222

一 拉氏变换的反演公式222

二 海维赛展开式223

三 部分分式法225

四 查表方法226

五 卷积方法227

第四节拉氏变换的应用229

一 微分方程的拉氏变换解法229

二 应用问题的拉氏变换解法举例231

习题二239

第四篇数学物理方程245

第一章典型方程与定解条件245

第一节偏微分方程的一些基本知识245

一 偏微分方程及其阶245

二 偏微分方程的解246

三 二阶线性偏微分方程解的叠加原理248

第二节典型方程的推导250

一 弦的微小横振动（波动方程）250

二 杆的热传导（热传导方程）255

三 稳恒温度场内的温度分布258

第三节定解条件和定解问题259

一 初始条件260

二 边界条件261

三 定解问题265

四 定解问题的适定性与不适定问题266

第四节一维波动方程的达朗倍尔公式267

一 无界弦自由振动问题的达朗倍尔解法267

二 达朗倍尔解式的物理意义270

习题一273

第二章分离变量法277

第一节 有界弦的自由振动277

第二节 有限长杆上的热传导286

第三节二维拉普拉斯方程的边值问题291

一 矩形域内的拉普拉斯方程边值问题291

二 圆域内的拉普拉斯方程边值问题293

第四节 非齐次方程的定解问题298

第五节 非齐次边界条件的定解问题302

习题二308

第三章贝塞尔函数314

第一节Г一函数314

一 Г一函数314

二 Г一函数的数值表和图形316

第二节贝塞尔方程及其通解317

一 贝塞尔方程及其幂级数解法317

二 第一类贝塞尔函数Jμ（x）、J-μ（x）及其相互关系320

三 第二类贝塞尔函数Yμ（x）321

四 贝塞尔方程的通解322

第三节贝塞尔函数的一些性质322

一 递推公式322

二 贝塞尔函数的渐近公式和零点327

三 贝塞尔函数系的正交性330

四 把函数展开为傅里叶—贝塞尔级数333

第四节 应用贝塞尔函数解定解问题334

习题三338

第一篇习题答案340

第二篇习题答案343

第三篇习题答案353

第四篇习题答案357

附表（一）傅氏变换简表362

附表（二）拉氏变换简表369