《数学物理方法》

第一部分 复变函数1

第一章 复数和复变函数1

1.1 复数及其运算规则1

1.2 复数的几何表示2

1.3 复数序列7

1.4 复变函数9

1.5 复变函数的极限和连续10

1.6 无穷远点11

1.7 正十七边形问题13

第二章 解析函数15

2.1 导数15

2.2 解析函数17

2.3 初等函数20

2.4 多值函数23

2.5 解析函数的变换性质30

第三章 复变积分38

3.1 复变积分38

3.2 单连通区域的Cauchy定理40

3.3 复连通区域的Cauchy定理45

3.4 Cauchy积分公式47

3.5 解析函数的高阶导数50

3.6 Cauchy积分公式的几个重要推论52

3.7 Poisson公式55

第四章 无穷级数59

4.1 复数级数59

4.2 二重级数63

4.3 函数级数65

4.4 幂级数70

4.5 含参量的积分的解析性73

4.6 Euler求和公式76

4.7 发散级数与渐近级数80

第五章 解析函数的局域性展开87

5.1 解析函数的Taylor展开87

5.2 Taylor级数求法举例90

5.3 解析函数的Laurent展开94

5.4 Laurent级数求法举例97

5.5 单值函数的孤立奇点101

5.6 Bernoulli数和Euler数105

5.7 整函数和亚纯函数108

第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法109

6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点109

6.2 方程常点领域内的解111

6.3 方程正则奇点领域内的解115

6.4 Bessel方程的解119

6.5 方程非正则奇点附近的解131

第七章 解析延拓137

7.1 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性137

7.2 解析延拓140

第八章 留数定理及其应用145

8.1 留数定理145

8.2 有理三角函数的积分150

8.3 无穷积分152

8.4 含三角函数的无穷积分157

8.5 实轴上有奇点的情形160

8.6 多值函数的积分165

8.7 应用留数定理计算无穷级数的和170

8.8 留数定理的其他应用175

第九章 Γ函数177

9.1 Γ函数的定义177

9.2 Γ函数的基本性质179

9.3 Γ函数值的计算182

9.4 Ψ函数182

9.5 B函数186

9.6 Γ函数的无穷乘积表示188

9.7 Γ函数的渐近展开194

9.8 几个特殊函数公式的订正197

9.9 Riemann？函数和Mǒbius变换200

第十章 Laplace变换205

10.1 Laplace变换205

10.2 Laplace变换的基本性质206

10.3 Laplace变换的反演211

10.4 普遍反演公式216

10.5 利用Laplace变换计算级数和223

第十一章 δ函数229

11.1 δ函数229

11.2 利用δ函数计算定积分234

11.3 常微分方程初值问题的Green函数238

11.4 常微分方程边值问题的Green函数247

第二部分 数学物理方程253

第十二章 数学物理方程和定解条件253

12.1 弦的横振动方程254

12.2 杆的纵振动方程256

12.3 热传导方程257

12.4 稳定问题260

12.5 边界条件与初始条件261

12.6 内部界面上的连接条件265

12.7 定解问题的适定性267

第十三章 线性偏微分方程的通解269

13.1 线性偏微分方程解的叠加性269

13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解271

13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解273

13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程280

13.5 波动方程的行波解281

13.6 波的耗散和色散283

13.7 热传导方程的定性讨论287

13.8 Laplace方程的定性讨论289

第十四章 分离变量法291

14.1 两端固定弦的自由振动291

14.2 矫形区域内的稳定问题302

14.3 多于两个自变量的定解问题306

14.4 两端固定弦的强迫振动310

14.5 非齐次边界条件的齐次化320

第十五章 正交曲面坐标系329

15.1 正交曲面坐标系329

15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符331

15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性334

15.4 圆形区域339

15.5 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量347

15.6 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量348

第十六章 球函数351

16.1 Legendre方程的解351

16.2 Legendre多项式354

16.3 Legendre多项式的微分表示359

16.4 Legendre多项式的正交完备性361

16.5 Legendre多项式的生成函数367

16.6 Legendre多项式的递推关系370

16.7 Legendre多项式应用举例373

16.8 圆盘的引力势与静电势382

16.9 连带Legendre函数391

16.10 球面调和函数396

16.11 超几何函数400

第十七章 柱函数405

17.1 Bessel函数的基本性质406

17.2 Neumann函数413

17.3 柱函数416

17.4 Bessel方程的本征值问题417

17.5 含Bessel函数的积分425

17.6 Hankel函数431

17.7 虚宗量Bessel函数435

17.8 Kelvin函数439

17.9 半奇数阶Bessel函数439

17.10 Airy函数442

17.11 球Bessel函数442

17.12 合流超几何函数446

附录 涉及Bessel函数的常微分方程449

第十八章 分离变量法总结453

18.1 内积空间453

18.2 函数空间460

18.3 自伴算符的本征值总是465

18.4 Sturm Liouville型方程的本征值问题470

18.5 Sturm-Liouville型方程本征值问题的简并现象474

18.6 从Sturm-Liouville型方程本征值问题看分离变量法476

18.7 关于正交多项式的一般讨论481

第十九章 积分变换的应用489

19.1 Laplace变换489

19.2 Fourier变换495

19.3 半无界空间的情形499

19.4 关于积分变换的一般讨论503

19.5 小波变换简介508

第二十章 Green函数方法515

20.1 Green函数的概念515

20.2 稳定问题Green函数的一般性质519

20.3 三维无界空间Helmholtz方程的Green函数523

20.4 圆内Poisson方程第一边值问题的Green函数528

20.5 三维调和函数的均值定理与极值原理537

20.6 波动方程的Green函数539

20.7 热传导方程的Green函数547

第二十一章 变分法初步551

21.1 泛函的概念551

21.2 泛函的极值553

21.3 泛函的条件极值560

21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式564

21.5 变边值问题568

21.6 Rayleigh-Ritz方法570

第二十二章 数学物理方程综述576

22.1 二阶线性偏微分方程的分类576

22.2 线性偏微分方程解法述评582

22.3 非线性偏微分方程问题585

22.4 结束语591

参考书目592

外国人名译名对照表594