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第一部分　复变函数论及其应用1

第一章　复数的基本概念1

1.1　复数及其运算规则1

1.2　复数的几何表示2

1.3　复数序列·极限的概念5

目录7

序7

1.4　无穷远点7

第二章　解析函数9

2.1　复变函数·区域的概念·连续和一致连续9

2.2　导数11

2.3 解析函数·科希-里曼（Cauchy-Riemann）条件12

2.4　解析函数与调和函数的关系15

第三章　初等函数17

3.1　幂函数17

3.2　指数函数17

3.3　三角函数和双曲线函数18

3.4　多值函数·根式？19

3.5　对数函数26

3.6　多值函数w=arc sinz28

3.7　函数z8（s为任意复数）30

第四章　复数积分·科希定理和科希积分公式32

4.1　复数积分32

4.2　复数积分的几个重要性质33

4.3　科希（Cauchy）定理34

4.4　不定积分·原函数38

4.5　科希积分公式41

4.6　科希积分公式的几个重要推论45

4.7　解析函数的实部和虚部的关系47

4.8　科希型积分50

第五章　无穷级数52

5.1　复数级数52

5.2　函数级数·外氏（Weierstrass）定理56

5.3 幂级数·阿贝耳（Abel）第一定理61

5.4　幂级数所代表的函数的解析性65

5.5　阿贝耳第二定理67

第六章　泰勒展开和洛浪展开71

6.1　解析函数的泰勒（Taylor）展开71

6.2　多值函数的泰勒展开76

6.3　在无穷远点邻域内的泰勒展开78

6.4　洛浪（Laurent）展开79

6.5　洛浪展开的例子83

第七章　单值函数的孤立奇点87

7.1　孤立奇点的分类87

7.2　可去奇点88

7.3　极点89

7.4　本性奇点91

7.5　无穷远点92

8.1　残数定理94

第八章　残数理论及其应用94

8.2　计算残数的公式96

8.3　应用残数理论计算定积分98

8.4　无穷积分100

8.5　含三角函数的无穷积分·约当（Jordan）引理102

8.6　实轴上有奇点的情形·积分主值106

8.7　多值函数的积分108

8.8　其他例子111

8.9　关于零点和极点的个数的定理118

第九章　含参数的积分·Г函数和В函数120

9.1　解析开拓的一个例子120

9.2　解析开拓121

9.3　含参数的定积分所表示的函数的解析性122

9.4　Г函数（第二类欧勒积分）125

9.5　Г函数的围道积分表示132

9.6　Г函数的渐近表示·斯特令（Stirling）公式134

9.7　В函数（第一类欧勒积分）136

第十章　拉普拉斯变换139

10.1　拉氏变换139

10.2　拉氏变换的基本性质141

10.3　拉氏换式的运算性质及其在解线性常微分方程初值问题中的应用142

10.4　像函数的导数和积分的反演146

10.5　折积定理149

10.6　傅里叶（Fourier）积分151

10.7　拉氏变换的普遍反演公式155

10.8　应用残数理论求反演156

10.9　δ函数160

10.10　δ函数的傅氏换式和拉氏换式163

第十一章　线性常微分方程的级数解法和积分解法166

11.1　二阶线性常微分方程的奇点166

11.2　方程常点邻城内的解166

11.3　方程奇点邻域内的解·正则解和正则奇点169

11.4　求正则解的例子·贝塞耳（Bessel）方程176

11.5　非正则奇点邻城内的正则解184

11.6　常规解和次常规解186

11.7　积分解法·拉普拉斯（Laplace）型方程190

11.8　勒让德方程的积分解·欧勒变换194

12.1　方程的来源198

第十二章　方程的导出和定解问题198

第二部分　数学物理方程198

12.2　杆的纵振动和弦的横振动199

12.3　热传导方程202

12.4　电报方程（传输线方程）205

12.5　边界条件和初值条件207

12.6　定解问题212

第十三章　分离变数法213

13.1　弦的自由振动213

13.2　解的诠释218

13.3　两端固定的弦的强迫振动221

13.4　非齐次边界条件·第一边值问题223

14.2　正交曲面坐标系中的梯度、散度、旋度和拉氏算符226

第十四章　正交曲面坐标系中方程的变数分离226

14.1　坐标系的选择226

14.3　球坐标系和柱坐标系中方程？2u+λu=0的变数分离232

14.4 圆内的狄里希累（Dirichlet）问题235

第十五章 常微分方程的本征值问题240

15.1　二阶线性常微分方程的本征值问题240

15.2　斯特姆-刘维（Sturm-Liouville）型方程的本征值问题246

15.3　用正交函数组展开250

第十六章　特殊函数及其应用（一）·勒让德函数253

16.1　勒让德方程的本征值问题·有界条件·勒让德多项式253

16.3　Pl（x）的正交性和归一因子258

16.2　勒让德多项式的微分表示——罗巨格（Rodrigues）公式258

16.4　Pl（x）的完备性262

16.5　应用举例——均匀电场中的导体球264

16.6　Pl（x）的生成函数268

16.7　应用举例270

16.8　Pl（x）的递推关系276

16.9　连带勒让德函数278

16.10　P？（x）的正交归一关系280

16.11　P？（x）（m＞0）281

16.12　P？（x）的递推关系282

16.13 加法公式283

16.14　公式表285

17.1　贝塞耳（Bessel）函数Jn（x）289

第十七章　特殊函数及其应用（二）·贝塞耳函数289

17.2 Jn（x）的振荡特性·Jn（x）的零点290

17.3　贝塞耳函数的递推关系293

17.4　Jn（x）的生成函数和积分表达式294

17.5　加法公式296

17.6　贝塞耳方程的本征值问题297

17.7　应用举例——圆柱体的冷却300

17.8　第二类贝塞耳函数Yv（x）303

17.9　应用举例——空心圆柱体的径向振动307

17.10　最陡下降法308

17.11　贝塞耳函数的渐近表达式312

17.12　第三类贝塞耳函数H？（x），H？（x）·柱函数313

17.13　应用举例——电磁波在金属圆柱表面上的散射315

17.14　半奇数阶贝塞耳函数317

17.15　球贝塞耳函数jl(x),nl(x),h？（x），h？（x）318

17.16 eikrcosθ用勒让德多项式展开320

17.17 变型（或虚宗量）贝塞耳函数321

17.18　应用举例——有限长圆柱体内的稳定温度场324

17.19 可化为贝塞耳方程的微分方程327

17.20　含贝塞耳函数的积分327

17.21　公式表329

第十八章　格临函数336

18.1　引言336

18.2　拉氏算符的格临函数336

18.3　格临函数的对称性342

18.4　广义格临函数343

18.5　无界区域的格临函数·基本解347

18.6　用正交函数组展开求格临函数350

18.7　用电像法求格临函数355

18.8　初值问题的格临函数·波动方程的推迟解·无初值问题358

第十九章　积分变换的应用366

19.1　应用拉氏变换于热传导问题366

19.2　应用积分变换解边值（初371

值）问题的普遍原理371

19.3　汉克耳（Hankel）变换373

第二十章　保角变换原理及其应用377

20.1　拉氏算符的变换377

20.2　解析函数的几何性质380

20.3　几种最简单的保角变换·线性变换382

20.4　分式线性变换384

20.5　分式线性变换下圆的特性·反演点对385

20.6　应用举例388

20.7　变换ζ＝zn391

20.8　变换ζ＝lnz393

20.9　多边形的变换（席伐尔兹变换）394

20.10　特殊情形下求A和ζi的公式398

20.11 应用举例——平行板边缘的电场401

20.12 把多边形外部变为上半平面的变换404

20.13　应用举例——儒可夫斯基变换405

21.1　二阶线性偏微分方程分类·两个自变数的情形408

第二十一章　二阶线性偏微分方程分类408

21.2　多个自变数的情形412

21.3　定解问题·一维波动方程的达朗伯解415

21.4　热传导方程和泊松方程的解的唯一性418

第二十二章　波动方程的几个特殊解法422

22.1　平均值方法·泊松公式422

22.2　柱面波·降维法426

22.3 里曼方法428

22.4　例432

第二十三章　变分法及其应用434

23.1　泛函和泛函的极值问题434

23.2　泛函极值的必要条件·欧勒方程436

23.3　几个自变数的情形·重积分所表示的泛函的极值问题439

23.4　泛函的条件极值问题441

23.5　测地线问题444

23.6 泛函的变分·泛函的导数446

23.7　变端点问题·自然边界条件448

23.8　应用于本征值问题449

23.9　高阶本征值和本征函数452

23.10　应用于边值问题455

23.11　里兹（Ritz）方法457

23.12　应用举例——圆形薄膜横振动的本征频率459

索引463

外国人名对照索引467

符号索引468