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上篇复变函数论1

第一章 复变函数和解析函数1

1.1复数的基本概念1

1.2复变函数及其导数科希－黎曼条件4

1.3解析函数9

1.4多值函数11

1.5解析函数的物理解释17

习题20

第二章 复变函数积分科希定理和科希公式22

2.1复变函数积分及其重要性质22

2.2科希定理24

2.3不定积分27

2.4科希公式及其几个推论31

2.5两特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系泊松积分公式35

习题39

第三章 复变函数级数泰勒级数和罗朗级数孤立奇点的分类40

3.1复变函数级数和解析函数级数40

3.2幂级数的收敛性43

3.3解析函数的泰勒级数展开47

3.4解析函数的罗朗级数展开53

3.5泰勒级数和罗朗级数展开的几种常用方法55

3.6孤立奇点的分类和特性60

习题66

第四章 解析延拓Г函数和B函数68

4.1解析函数的唯一性68

4.2用泰勒级数进行解析延拓71

4.3利用函数关系式进行解析延拓Г函数73

4.4B函数76

习题78

5.1留数定理和留数的求法79

第五章 定积分的计算79

5.2？2πR(Cosx,sinx）dx83

5.3？∞f(x)dx、？f(x)eimxdx和约当引理85

∞∞89

5.4积分主值89

5.5多值函数积分的两种类型93

5.6几个特殊积分101

习题106

第六章 拉普拉斯变换109

6.1拉普拉斯变换的定义和基本性质109

5.2反演问题梅林反演公式115

6.3求原函数和象函数的几种常用方法124

6.4线性常微分方程的初值问题127

6.5点源和瞬时源δ函数134

习题141

7.1傅里叶级数145

第七章 傅里叶变换和色散关系145

7.2傅里叶变换149

7.3多重傅里叶变换158

7.4色散关系162

习题168

第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数170

8.1常点邻域方程的级数解勒让德方程170

8.2正则奇点邻域方程的级数解贝塞耳方程177

8.3高斯方程和库末方程195

8.4非齐次方程的通解202

习题205

下篇数学物理方程207

第九章 数学物理方程的定解问题207

9.1数学物理方程的导出207

9.2二阶线性偏微分方程的分类和化简220

9.3定解问题227

9.4线性方程的迭加原理232

习题234

第十章 行波法和分离变量法本征值问题236

10.1一维无界区域的自由振动问题达朗伯公式236

10.2一维半无界区域的自由振动问题初始条件的延拓239

10.3一维有界区域自由振动问题的驻波解分离变量法244

10.4非齐次边界条件的齐次化251

10.5本征函数法256

10.6斯特姆－刘维型方程的本征值问题258

习题266

第十一章 积分变换法269

11.1无界空间的有源导热问题傅里叶变换法269

11.2三维无界空间的静电场问题275

11.3三维无界空间的受迫振动问题泊松公式和推迟势公式277

11.4拉普拉斯变换法281

习题285

第十二章 球坐标下的分离变量法勒让德多项式和球谐函数288

12.1正交曲线坐标系平面圆形区域的定解问题288

12.2球坐标下的分离变量法298

12.3轴对称问题勒让德多项式301

12.4非轴对称问题球谐函数312

习题322

第十三章 柱坐标下的分离变量法贝塞耳函数325

13.1柱坐标下的分离变量法325

13.2贝塞耳函数327

13.3虚宗量贝塞耳函数340

13.4球贝塞耳函数343

13.5最速下降法贝塞耳函数的渐近式348

13.6可以化为贝塞耳方程的一类方程爱里方程的有限解363

习题367

14.1保角变换及其基本特性369

第十四章 平面静电场问题和保角变换法369

14.2几种常用的初等函数变换375

14.3多角形区域的变换施瓦兹－克利斯多菲变换公式392

14.4小结407

习题408

第十五章 非齐次方程的定解问题和格林函数法410

15.1三类边界条件的定解问题的解与格林函数410

15.2格林函数的一般性质418

15.3某些特殊区域泊松方程狄里希莱问题的格林函数镜像法421

15.4格林函数的一般求法426

15.5无界空间的稳恒振动问题429

15.6受迫振动问题和含时格林函数439

习题449

16.1变分问题欧拉－拉格朗日方程452

第十六章 变分法452

16.2带约束条件的变分问题461

16.3端点值可变情况下的变分问题468

16.4变分问题与微分方程的求解472

习题482

第十七章 积分方程的一般性质和解法485

17.1积分方程的分类伏特拉方程485

17.2具有平方可积核的弗雷德霍姆方程的迭代解法494

17.3退化核方程和弗雷德霍姆定理497

17.4连续核方程的弗雷德霍姆定理和解核的弗雷德霍姆表达式503

17.5弱奇性核方程512

17.6对称核方程519

17.7微分方程与积分方程的联系529

习题533

习题答案535