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绪论1

第一章复变函数4

1.1 复数及其运算规则4

一、复数的概念4

二、复数的基本运算规则5

三、复数的几何表示6

四、复数的三角表示式和指数表示式7

五、无穷远点和复数球面11

1.2 复变函数12

一、复变函数的概念12

二、极限与连续15

三、导数 C—R条件17

1.3 解析函数21

一、解析函数21

二、解析函数与调和函数的关系23

1.4 复变初等函数28

一、实变初等函数的推广28

二、幂函数29

三、指数函数29

四、三角函数30

五、双曲函数32

七、对数函数38

八、任意幂函数40

1.5 保角映射的基本概念41

一、解析函数的导数的几何意义41

二、保角映射43

本章小结44

习题45

一、复变函数积分的概念48

第二章复变函数的积分48

2.1 复变函数积分的概念及基本性质48

二、复变函数积分的基本性质49

2.2 柯西定理53

一、单连通区域的柯西定理53

二、复连通区域的柯西定理59

2.3 柯西积分公式61

一、柯西积分公式61

二、解析函数的高阶导数62

本章小结66

习题67

第三章解析函数的级数展开70

3.1 级数的基本概念70

一、复数项级数70

二、复变函数项级数73

3.2 幂级数75

一、幂级数的敛散性质75

二、幂级数敛散性的判定 收敛半径公式76

三、幂级数的和函数的解析性81

二、泰勒展开的唯一性84

三、泰勒级数的收敛半径85

四、解析函数的零点85

五、常见初等函数的泰勒展开86

3.4 解析函数的罗朗展开92

一、罗朗展开92

二、罗朗展开的唯一性95

三、主部和正则部96

一、孤立奇点及其分类102

3.5 孤立奇点的分类及其性质102

二、在孤立奇点附近函数的性质103

三、无穷远点107

3.6 解析开拓111

一、解析开拓111

二、Γ函数的解析开拓113

本章小结115

习题116

第四章留数定理及其应用119

4.1 留数和留数定理119

一、留数的概念119

二、留数定理120

三、留数的计算122

二、类型一 I=∫2π0R(cosx，sinx)dx130

一、实变函数的定积分与复变函数的围道积分130

4.2 应用留数定理计算实变函数的定积分130

三、几个重要的引理132

四、类型二 I=∫∞-∞f(x)dx135

五、类型三 I1=∫∞-∞f(x)·cosaxdx,I2=∫∞-∞ f(x)sinaxdx139

4.3 应用留数定理计算定积分的其它例题145

本章小结153

习题154

第五章傅里叶级数 傅里叶变换和拉普拉斯变换158

5.1 傅里叶级数158

一、周期函数的傅里叶级数展开158

二、傅里叶正弦级数和傅里叶余弦级数160

三、定义在一定区间上的函数的傅里叶级数展开161

四、二重傅里叶级数168

一、复数形式的傅里叶级数169

5.2 傅里叶积分和傅里叶变换169

二、傅里叶积分170

三、傅里叶变换及其性质173

5.3 δ函数和阶跃函数185

一、奇异函数185

二、δ函数186

三、阶跃函数194

5.4 拉普拉斯变换199

一、拉普拉斯变换的一般概念199

二、拉普拉斯变换的性质201

三、拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯反演208

本章小结222

习题224

第六章数学物理方程的导出和定解问题229

一、弦的横振动230

6.1 振动波动方程230

二、杆的纵振动232

6.2 热传导方程和扩散方程236

一、热传导方程236

二、扩散方程239

6.3 拉普拉斯方程和泊松方程241

一、引力势方程241

二、稳定的温度分布和稳定的浓度分布243

6.4 定解条件244

一、定解条件的必要性244

二、初始条件245

三、边界条件247

四、定解问题及其适定性250

一、二阶线性偏微分方程的分类及其标准型252

6.5 二阶线性偏微分方程的分类 特征线解法252

二、用特征线法解初值问题259

本章小结264

习题264

第七章分离变数法266

7.1 齐次的泛定方程267

一、两端固定弦的自由横振动267

二、有界无源杆内的热传导方程278

7.2 非齐次泛定方程285

一、按本征函数展开法285

二、杜阿美原理295

7.3 非齐次边界条件298

一、第一类非齐次边界条件的齐次化298

二、其它非齐次边界条件的齐次化302

7.4 二维拉普拉斯方程和泊松方程306

一、矩形域上的拉普拉斯方程306

二、圆域上的拉普拉斯方程311

三、泊松方程321

本章小结328

习题329

第八章正交曲面坐标系 本征值问题333

8.1 坐标系的选择333

8.2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符334

一、正交曲面坐标系334

二、梯度336

三、散度337

四、正交曲面坐标系中的拉氏算符338

一、时间空间因子的变数分离339

8.3 正交曲面坐标系中的变数分离339

二、直角坐标系中的变数分离340

三、柱坐标系中的变数分离340

四、球坐标系中的变数分离344

8.4 本征值问题348

一、斯特姆—刘维型方程348

二、斯特姆—刘维问题351

三、本征值与本征函数的性质352

本章小结363

习题363

第九章线性常微分方程的级数解 特殊函数367

9.1 二阶线性常微分方程的级数解法367

一、方程的常点和奇点367

二、二阶线性常微分方程的级数解法369

三、无穷远点的情形375

9.2 勒让德函数391

一、勒让德多项式391

二、第二类勒让德函数410

三、缔合勒让德函数412

四、球谐函数421

9.3 贝塞尔函数428

一、贝塞尔方程的解428

二、贝塞尔函数的基本性质434

三、生成函数与积分表示441

四、贝塞尔方程的本征问题445

五、可化为贝塞尔方程的微分方程453

六、球贝塞尔函数458

七、变型(或虚宗量)的贝塞尔函数467

一、厄密多项式469

9.4 厄密多项式和厄密函数469

二、厄密多项式的其它表示式471

三、厄密多项式的性质473

四、厄密函数474

9.5 拉盖尔多项式和拉盖尔函数475

一、拉盖尔多项式475

二、拉盖尔多项式的其它表示式 正交归一关系477

三、拉盖尔函数480

四、缔合拉盖尔方程和缔合拉盖尔多项式480

本章小结482

习题485

第十章高维问题495

10.1 直角坐标系中的问题495

一、拉普拉斯方程495

二、矩形膜的横振动497

三、长方体中的热传导501

10.2 柱坐标系中的问题503

一、拉普拉斯方程503

二、振动波动方程与热传导方程512

10.3 球坐标系中的问题520

一、拉普拉斯方程520

二、热传导方程与振动波动方程525

本章小结532

习题534

第十一章积分变换法539

11.1 积分变换539

11.2 傅里叶变换法540

一、无界问题540

二、半无界问题 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换547

11.3 拉普拉斯变换法557

11.4 有限积分变换法564

一、有限积分变换的一般考虑564

二、常见斯—刘型算符的有限积分变换568

本章小结575

习题576

第十二章格林函数法580

12.1 常微分方程的边值问题 格林函数580

一、常微分方程边值问题的另一种解法580

二、格林函数及其性质583

三、构造格林函数586

四、广义(或修正的)格林函数587

12.2 泊松方程(拉氏算符)的格林函数594

12.3 亥姆霍兹方程的格林函数 广义格林函数599

12.4 格林函数的对称性601

12.5 无界区域的格林函数 基本解603

12.6 用电像法求格林函数609

12.7 用本征函数展开法求格林函数613

12.8 含时间的格林函数619

一、波动方程 推迟解619

二、热传导方程626

三、杜阿美原理629

本章小结630

习题630

附录635

A.拉普拉斯变换和傅里叶变换表635

B.常见斯—刘型问题的本征值与本征函数639

C.常见格林函数问题的基本解644

习题参考答案646

主要参考书目678