《数学物理方程》

第一章偏微分方程的基本概念及二阶线性偏微分方程的分类1

1数学模型1

1 弦振动问题1

2 薄膜振动问题5

3 电磁场问题8

4 热传导问题11

5 理想流体流动问题14

6 用变分原理建立数学模型17

2 偏微分方程的基本概念22

3二阶线性偏微分方程的分类29

1 两个自变量的情形29

2 多个自变量的情形38

习题42

第二章分离变量法46

1波动方程和热传导方程的分离变量法46

1 齐次方程、齐次边值条件时的分离变量法46

2 齐次边值条件、非齐次方程的情形58

3 非齐次边值条件的情形60

2拉普拉斯方程的分离变量法64

1 拉普拉斯方程的定解问题的提法64

2 分离变量法65

3 多维情形71

习题75

第三章积分变换法78

1付立叶变换及其基本性质79

1 付立叶积分公式79

2 付立叶变换82

3 付立叶变换的基本性质85

2 付立叶变换在解定解问题中的应用89

3拉普拉斯变换及其性质96

1 拉普拉斯变换96

2 指数型函数97

3 一些函数的拉普拉斯变换100

4 拉普拉斯变换的性质105

5 拉普拉斯逆变换111

4 拉普拉斯变换在解定解问题中的应用121

习题123

第四章平均值法、黎曼方法、格林函数法127

1行波法和达兰贝尔公式127

1 无界弦的自由振动127

2 物理意义129

8 依赖区域、影响区域、决定区域131

2平均值法与泊松公式132

1 三维波动方程柯西问题的解132

2 物理意义、惠更斯原理139

3 依赖区域、影响区域、决定区域139

3降维法140

1 二维波动方程的泊松公式140

2 物理意义、波的弥散142

3 依赖区域、影响区域、决定区域142

4 非齐次波动方程柯西问题的解、齐次化原理144

5拉普拉斯双曲型方程的特征始值问题和柯西问题148

1 古沙问题与逐次逼近法149

2 柯西向题与黎曼方法154

6拉普拉斯方程边值问题的格林函数法166

1 格林公式与平均值定理166

2 拉普拉斯方程的第一边值问题、格林函数173

3 球域上的格林函数、泊松积分公式178

4 调和函数的性质183

习题188

第五章分离变量法（续）193

1几个特殊类型的常微分方程的引出193

1 三维波动方程193

2 热传导方程194

3 亥姆霍兹方程194

2 施特姆—刘维尔理论199

3 贝塞尔函数（柱函数）203

4 勒让德函数（球函数）225

习题240

第六章三类方程定解问题的适定性243

1波动方程定解问题的适定性243

1 能量积分243

2 波动方程柯西问题解的适定性249

3 波动方程混合问题解的适定性251

2热传导方程定解问题的适定性253

1 极值原理253

2 热传导方程定解问题解的唯一性与稳定性255

3拉普拉斯方程或泊松方程定解问题的适定性261

1 极值原理261

2 两类边值问题的适定性263

4三类方程的比较267

1 波动方程267

2 热传导方程268

3 拉普拉斯方程269

习题271

参考书目274