《数学物理方程》

引言1

第一章 典型方程典型定解问题6

1 热传导方程及其定解问题6

1.1 热传导问题的提出6

1.2 热传导方程7

1.3 热传导方程的定解条件10

1.4 热传导方程的典型定解问题13

1.5 低维热传导方程及其定解问题15

2 波动方程及其定解问题17

2.1 波动方程的物理背景17

2.2 弦的微小横振动方程18

2.3 弦振动方程的定解条件22

2.4 弦振动方程典型定解问题25

2.5 二维和三维波动问题26

3 位势方程及其定解问题28

3.1 位势方程28

3.2 定解问题29

4 衔接条件、适定性概念和方程分类31

4.1 衔接条件31

4.2 适定性概念34

4.3 二阶线性偏微分方程分类大意35

习题38

1 迭加原理42

1.1 方程型的迭加原理42

第二章 分离变量法42

1.2 定解问题型的迭加原理45

2 分离变量法46

2.1 分离变量法的物理思想46

2.2 分离变量法及其解题步骤50

2.3 应用举例56

2.4 形式解为真解的条件60

3 解的物理意义和驻波法的名称62

3.1 固有频率62

3.2 驻波64

4 解齐定解问题的本征函数展开法68

4.1 定解问题的本征函数系68

4.2 本征函数展开法70

5 解非齐问题的本征函数展开法78

5.1 弦振动非齐问题的解78

5.2 本征函数展开法84

6 分离变量法求解中的灵活性87

6.1 可化为分离变量法求解的定解问题87

6.2 化非齐边值为齐边值的方法95

6.3 一些特殊方法100

7 解非齐问题的杜哈美原理104

7.1 杜哈美原理105

7.2 杜哈美原理的物理背景107

7.3 杜哈美原理的应用109

习题113

1.1 基本定义120

1 积分变换的一般概念120

第三章 积分变换法120

1.2 常见的积分变换121

1.3 积分变换的作用126

2 傅立叶积分公式126

2.1 傅立叶积分公式的导出126

2.2 傅立叶积分公式成立的充分条件131

3 傅立叶变换133

3.1 傅立叶变换的引出133

3.2 傅立叶变换的概念134

3.3 傅立叶变换的基本性质135

3.4 多重傅立叶变换140

4 傅立叶变换的应用142

4.1 齐方程的初值问题143

4.2 非齐方程的初值问题145

4.3 半无界区间上的边值问题147

5 拉普拉斯变换152

5.1 拉普拉斯变换是怎样引进的153

5.2 存在定理和乘法定理156

5.3 反演公式和展开定理162

5.4 拉氏变换的基本性质183

6 拉氏变换的应用195

6.1 四个象函数的原象函数195

6.2 解初值问题201

6.3 解无界域上的混合问题207

6.4 解有界域上的混合问题210

傅立叶变换表212

拉普拉斯变换表214

习题219

第四章 格林函数法228

1 δ--函数228

1.1 δ--函数的定义228

1.2 δ--函数的物理意义229

1.3 δ--函数作为普通函数的弱极限231

1.4 弱相等概念和δ--函数的性质236

1.5 主维δ--函数242

2 解初值问题的格林函数法243

2.1 基本思想243

2.2 解一维初值问题的格林函数法245

2.3 解三维初值问题的格林函数法251

2.4 解二维初值问题的降维法256

3 解混合问题的格林函数法256

3.1 格林函数的概念及其表达式260

3.2 格林函数法261

4 解泊松方程第一边值问题的格林函数法262

4.1 格林第一公式和第二公式262

4.2 点源场264

4.3 格林函数266

4.4 格林函数的物理意义267

4.5 格林函数法268

4.6 求格林函数的静电源象法273

习题285

第五章 变分原理与变分方法294

1 单积分型泛函的变分问题295

1.1 模型问题295

1.2 变分问题的确切提法297

1.3 变分原理--欧拉方程301

1.4 变分概念307

1.5 二阶变分和极值函数的充分条件309

1.6 变分和记号及其运算性质311

1.7 多个未知函数的变分问题313

2 重积分型泛函的变分问题317

2.1 极小曲面问题317

2.2 变分问题及其原理318

2.3 极小曲面问题的奥氏方程322

2.4 J(u)的一阶变分323

3 条件极值325

3.1 等周问题325

3.2 一般变分问题326

3.3 等周问题的解330

4 自然边值条件332

4.1 变动端点问题的自然边值条件332

4.2 变动边值问题的自然边值条件336

4.3 更一般的泛函的自然边值条件338

5 变分法与数学物理定解问题342

5.1 极值原理342

5.2 膜的微小横振动方程343

6 边值问题与变分问题347

6.1 变分方法的大意347

6.2 常微边值问题对应的变分问题347

6.3 泊松方程对应的变分问题351

7 解变分问题的直接方法353

7.1 直接方法的基本思想353

7.2 作极小函数列的里兹方法354

7.3 解变分问题的里兹方法362

7.4 解变分问题的伽辽金方法365

8 解本征值问题的变分方法369

8.1 本征值和本征函数的一些性质369

8.2 本征值问题与变分问题372

8.3 本征值和本征函数的求法举例375

习题379

第六章 行波法389

1 一维波动的传播公式389

1.1 无界弦的自由振动390

1.2 无界弦的强迫振动392

2 波在空间的传播公式393

2.1 球面波方程393

2.2 三维空间的自由波动问题394

2.3 推迟势400

2.4 克希霍夫公式403

2.5 二维波动问题的传播公式404

3.1 特征概念405

3 特征概念及其某些性质405

3.2 特征的解析形式409

3.3 解对特征锥底面上值的依赖412

3.4 依赖域 决定域 影响域416

4 波的物理性质418

4.1 行波法的物理背景418

4.2 只有初始位移的一维自由振动的传播426

4.3 只有初始速度的一维自由振动的传播430

4.4 空间波动传播的物理性质435

习题437

1 弦振动方程混合问题的解的唯一性443

1.1 能量守恒原理443

第七章 定解问题的唯一性与稳定性443

1.2 唯一性定理445

2 位势方程边值问题的适定性448

2.1 调和函数的积分表达式448

2.2 极值原理451

2.3 唯一性与稳定性定理455

2.4 可解性定理457

3 热传导方程混合问题解的唯一性与稳定性458

3.1 极值原理458

3.2 唯一性与稳定性460

4 不适定问题的例子463

4.1 拉普拉斯方程的不适定例子463

4.2 弦振动方程的不适定例子463

5.1 解的概念应当推广465

5 广义解465

5.2 广义解的概念467

5.3 广义解的进一步讨论470

5.4 广义解的求法473

习题478

第八章 附录482

1 电磁波传播方程和化标准型方法482

1.1 电磁波传播方程482

1.2 化标准型方法483

2 傅立叶级数的逐项微商定理490

2.1 展开定理及其推论490

2.2 基本引理491

2.3 逐项微商定理496

3 形式解为真解的充分条件497

3.1 第二章中的定理问题(2.1)--(2.3)498

3.2 第二章中的定解问题(2.13)--(2.15)499

3.3 第二章中的定解问题(6.1)--(6.2)501

4 傅立叶积分公式503

4.1 基本引理503

4.2 傅立叶积分公式504

5 存在唯一性和完全性506

5.1 一个常微边值问题解的存在唯一性506

5.2 一个完全性的证明508

5.3 J(yn)的极小值点的存在证明510

提示和答案513