《数学物理方程》求取 ⇩

第一章引论1

1　引言1

1.1　偏微分方程及其基本概念1

1.2　数学物理方程的研究对象4

1.3　数学物理方程的研究内容7

2　二自变数的二阶线性方程的分类及标准型9

2.1　方程的化简9

2.2　方程的分类14

2.3　例17

2.4　多自变数的二阶线性方程的分类19

习题21

第二章　热传导方程23

1　热传导方程及其定解问题23

1.1　热传导方程的导出23

1.2　定解问题的提法26

1.3　扩散方程29

2　混合问题·分离变量法30

习题30

2.1　迭加原理31

2.2　分离变量法33

2.3　齐次化原理37

2.4　例39

习题42

3　柯西问题43

3.1　热传导方程的柯西问题43

3.2　解的验证45

3.3　基本解47

3.4　例48

习题50

4　极值原理·解的唯一性和稳定性50

4.1　极值原理50

4.2　解的唯一性及稳定性53

习题55

5　高维热传导方程55

习题57

1　弦振动方程及其定解条件58

1.1　弦振动方程的导出58

第三章　波动方程58

1.2　弦振动方程的定解条件61

习题62

2　弦振动方程的柯西问题63

2.1　行波法63

2.2　达朗贝尔公式64

2.3　依赖区间、决定区域与影响区域65

2.4　例67

2.5　非齐次弦振动方程的柯西问题68

习题70

3　弦振动方程的混合问题71

3.1　能量积分与解的唯一性71

3.2　解的存在性73

3.3　非齐次弦振动方程的混合问题78

习题79

4　高维波动方程及其定解问题80

习题85

5.1　球平均法86

5　高维波动方程的柯西问题86

5.2　降维法91

5.3　非齐次波动方程的柯西问题93

习题94

6　波的传播与衰减95

6.1　三维波动的传播95

6.2　二维波动的传播98

6.3　波动方程解的衰减99

7　能量积分100

习题100

7.1　波动方程的混合问题101

7.2　用能量积分方法证明柯西问题解的唯一性105

习题107

第四章　调和方程109

1　调和方程及其定解问题109

习题115

2　格林公式及其应用116

2.1　格林公式116

2.2　诺伊曼问题解的自由度及可解条件117

2.3　基本积分公式118

2.4　泊松方程121

2.5　平均值定理与极值原理123

2.6　狄利克雷问题解的唯一性与稳定性125

习题126

3　格林函数及其应用127

3.1　格林函数的定义及性质127

3.2　静电源象法131

3.3　调和方程狄利克雷问题的解134

3.4解的验证136

3.5　二维单连通区域上的格林函数138

习题140

4 调和函数的性质141

习题148

5　泊松方程148

习题153

第五章　二阶线性偏微分方程155

1　分离变量法的理论基础155

1.1　方法的回顾155

1.2　特征值向题157

1.3　圆形区域上的热传导问题159

习题162

2　能量积分法163

2.1　双曲型方程的能量积分法163

2.2　抛物型方程的能量积分法168

2.3　椭圆型方程的能量积分法169

习题171

3　基本解171

3.1　调和方程的基本解171

3.2　 δ函数与基本解173

3.3　热传导方程的基本解177

习题180

4　二阶方程的特征理论180

4.1　特征概念180

4.2　特征方程182

4.3　例184

习题186

5　三类方程的比较与归纳186

5.1　三类方程定解问题提法的比较187

5.2　二阶椭圆型方程小结190

5.3　二阶抛物型方程小结193

5.4二阶双曲型方程小结196

习题199

第六章一阶对称双曲型方程组200

1 定义与例子200

习题206

2 能量积分与柯西问题解的唯一性206

习题211

3　柯西问题解的存在性212

习题216

4　混合初边值问题217

4.1　问题的提法217

4.2　对于非负边界条件的能量不等式218

4.3　合格边界条件220

习题225

5　一阶拟线性对称双曲组226

习题229

1　引言230

第七章　偏微分方程的广义解和数值解230

2　调和方程狄利克雷问题的广义解231

习题238

3　调和方程狄利克雷问题的数值解238

3.1　有限差分法239

3.2　元体平衡法241

3.3　有限元素法（里茨法）247

3.4　有限元素法（伽辽金法）250

习题252

附录一　傅立叶级数254

附录二　傅立叶变换257

附录三　δ函数261

1　 δ函数的概念261

习题265

2 　δ函数的运算265

习题267

3　应用δ函数求基本解267

习题270

索引271