《偏微分方程数值解》

第一章 抛物型方程的有限差分方法1

第一编 有限差分方法1

1 差分方法的基本概念4

2.1 古典显格式8

1.1 双曲型方程的特征8

2 差分格式的建立8

2.2 古典隐格式9

2.3 加权六点格式及柯朗科一尼柯逊格式10

2.4 李查逊格式13

2.5 双侧逼迫--隐一显格式13

2.6 积分恒等式方法15

2.7 推广到多维17

2.8 数值例子19

3 差分方程的稳定性与收敛性23

3.1 稳定性24

3.2 判别稳定性的方法26

3.3 差分方程解的收敛性42

3.4 Lax等价定理的证明45

3.5 差分格式的应用47

4 守恒型方程的差分方程49

4.1 变系数抛物型方程的差分格式49

4.2 能量估计53

4.3 非线性方程的差分方法56

5.1 P--R格式59

5.2 可裂格式61

5.3 预校格式63

5.4 局部一维格式65

6 稳定性和冯·诺依曼条件的进一步分析67

6.1 稳定性与适定性67

6.2 冯·诺依曼条件68

6.3 方程？=a2？的各种差分逼近80

习题82

第二章 双曲型方程的有限差分方法86

1 基本知识86

1.2 实例分析90

2 线性双曲型方程的差分方法91

2.1 一阶线性双曲型方程的差分方法91

2.2 二阶线性双曲型方程的差分方法99

2.3 定解条件的处理104

2.4 线性双曲型微分方程组的差分方法107

3 拟线性双曲型方程组的差分方法113

3.1 特征线方法115

3.2 特征差分格式122

3.3 稳定性、收敛性分析123

4 守恒型方程的有限差方法126

4.1 守恒型方程(组)的广义解128

4.2 守恒型方程的差分方法131

5 守恒型方程的差分格式的收敛性143

习题146

第三章 椭圆型方程的有限差分方法149

1 泊松方程的有限差分方法149

1.1 五点格式150

1.2 九点差分格式152

1.3 极坐标形式下的差分格式154

2 边界条件的处理156

2.1 矩形区域156

2.2 一般区域157

3 差分方程解的存在唯一性、收敛性和误差估计161

3.1 极值定理162

3.2 五点差分格式的收敛性167

习题169

第二篇 有限单元法171

第一章 变分原理171

1 初等变分思想174

1.1 多元函数极值174

1.2 常微分方程二点边值问题的变分原理176

2 变分原理与广义解180

2.1 最小势能原理180

2.2 虚功原理184

2.3 最小热能原理与虚功原理的等价性188

2.4 泊松方程第一、第三边值问题算子一△正定性的证明189

3 古典变分方法194

3.1 古典里兹算法和伽勒金算法194

3.2 古典R--G法的理论意义200

4 索伯列夫空间介绍及简单性质204

4.1 广义导数205

4.2 索伯列夫空间H1［a,b］209

习题214

第二章 有限单元法219

1 常微分方程边值问题的有限单元法219

1.1 有限元方程的形成219

1.2 有限元方程性质227

1.3 实例分析229

2 解二维问题的三角形元235

2.1 有限元方程的形成235

2.2 实例分析247

3 高次元254

3.1 一维的二次元、三次元256

3.2 二维的矩形元268

3.3 任意四边形剖分与等参数变换271

4.1 定带宽消元法278

4 有限元方程的有效解法278

4.2 变带宽消元法281

4.3 波阵法282

4.4 多重网格迭代法284

5 一维线性元的误差估计289

6 提高有限元解的精度的讨论295

6.1 迭代--校正法296

6.2 超收敛298

7 有限单元法在解特征值问题上的应用305

7.1 两点边值的特征值问题的变分原理305

7.2 解特征值问题的有限单元法307

7.3 加速特征值及特征向量收敛速度的讨论313

习题317

1.1 一些基本定义320

第三章 有限元方法理论基础介绍320

1 预备知识320

1.2 线性算子与线性泛函321

1.3 最佳逼近概念323

1.4 直交投影与黎兹表现定理324

1.5 索伯列夫空间的一些性质327

2 适定性333

2.1 适定性问题的讨论333

2.2 广义解的可微性336

3 有限元解的收敛性及误差估计338

3.1 收敛性339

3.2 L2模估计340

习题342

附录343

参考文献348