《微分方程几何理论》

第一章　预备知识1

1　拓扑学初步1

2　向量与矩阵10

3　多变元的解析函数21

4　微分流形27

第二章　存在定理．解的一般性质30

1　概论30

2　基本存在定理31

3　连续性性质37

4　可微性性质41

5　解析性性质44

6　高阶方程47

7　自治方程组47

第三章　线性方程组56

1　线性方程组的各种类型56

2　齐次方程组58

3　非齐次方程组69

4　常系数线性方程组71

5　具周期系数的线性方程组：Floquet理论74

第四章　稳定性78

1　历史概况78

2　奇点的稳定性80

3　线性齐次方程组的稳定性81

4　一致正则变换83

5　轨线的稳定性85

6　映射的稳定性86

7　稳定性的另一些定义（Antosiewicz）87

第五章　微分方程？=Px+q（x;t）（P为常矩阵；q（0;t）=0）89

1　一般的注90

2　一般非解析方程组91

3　解析方程组：概述98

4　Ляпунов展式定理99

第六章　微分方程？＝Px+q（x;t）（P为常矩阵；q（0;t）=0）（续）109

1　Poincaré方法109

2　Ляпунов的直接稳定性定理113

3　乘积空间中的稳定性124

4　存在性定理129

5　乘积空间中的稳定性：解析情形133

6　特征根除一个为零外其余均具负实部的方程组135

7　Ляпунов定理的逆问题139

第七章　微分方程？＝P（t）x+q（x;t）（P（t）为变数矩阵；q（0;t）=0）145

1　Perron化简定理145

2　各种稳定性判别准则148

3　Ляпунов数　对稳定性的应用155

第八章　周期方程组及其稳定性159

1　具周期系数的线性齐次方程组159

2　具周期系数的解析方程组163

3　周期解的稳定性164

4　自治方程组的闭路线的稳定性　Poincaré截面法165

5　周期解族169

6　拟线性方程组及其周期解174

7　Ляпунов所研究的一类周期解176

8　周期解的完全族179

第九章　二维方程组．简单奇点．指标．无穷远性态186

1　概论187

2　线性齐次方程组的奇点188

3　一般情形中的初级奇点191

4　指标对微分方程的应用199

5　路线在无穷远的性态204

第十章　二维方程组（续）211

1　一般奇点211

2　在奇点的局部相图216

3　当t→±∞时路线的极限集224

4　Bendixson定理229

5　关于极限圈的若干补充234

6　关于路线多边形236

7　div（X,Y）的若干性质236

8　具单一非零特征根的奇点239

9　结构稳定性248

10　非解析方程组255

第十一章　二阶微分方程262

1　非耗散系统264

2　Liénard方程265

3　van der Pol方程：相图270

4　Cartwright-Littlewood方程276

5　应用与补充284

6　微分方程x″+f（x,x′）x′+g（x）=e（t）290

7　特殊微分方程x″+g（x）=μsinωt300

8　特殊微分方程x″+f（x）x′+g（x）=e（t）304

9　Gomory所研究的某些周期方程组306

第十二章　在二阶系统中的振动：近似方法310

1　自激系统311

2　强迫振动318

3　拟调和方程组的近似方法328

4　Mathieu方程及Hill方程333

5　极限圈的极限位置338

附录一　矩阵知识的补充343

1　化成标准形式343

2　实矩阵的标准形式348

3　逆矩阵的标准形式350

4　log A的确定351

5　某一矩阵方程352

6　另一个矩阵问题354

附录二　拓扑学知识的若干补充356

1　平面上的指标356

2　曲面的指标361

3　平面Jordan曲线的一个性质365

问题368

参考文献371

主要符号表379

索引381