《微分几何教程》

绪论1

1.平面上曲线的定义1

2.空间曲线的定义10

3.曲面的定义17

4.曲线F(x,y)=0的奇异点21

5.曲面(F(x,y,z)=0的奇异点28

6.微分几何的方法与任务30

第一篇 曲线论38

第一章 一阶微分邻域38

1.曲线的切线38

2.弧长42

第二章 二阶微分邻域46

1.相伴三面形46

2.密切平面51

3.曲线的曲率60

1.相伴三面形的基本矢量的导数公式69

第三章 三阶微分邻域69

2.曲线的挠率74

3.相伴三面形的运动84

4.曲线关于基本三面形在通常点和奇异点的邻域内的位置89

第四章 平面曲线97

1.挠率等于0的曲线97

2.平面曲线的标架的无穷小移动的公式101

3.渐缩线105

4.曲线的奇异点111

第五章 曲线的自然方程116

1.存在定理116

2.一般螺旋线120

3.渐缩线123

4.密切球面126

第六章 包络论133

1.平面上曲线族的包络133

2.单参数曲面族的包络144

3.双参数曲面族的包络153

4.平面族的包络156

第二篇 曲面论164

第一章 一阶微分邻域164

1.曲面的切平面与法线164

2.曲面的线素178

3.曲面的扭曲192

第二章 二阶微分邻域206

1.第二(基本)二次形式206

2.曲面上曲线的法曲率212

3.主方向与主曲率半径217

4.曲面上的椭圆点，双曲点与抛物点221

5.曲面的总曲率与平均曲率228

6.曲率线239

7.渐近曲线243

8.共轭曲线网249

第三章 曲面的内蕴几何学257

1.曲面上曲线的测地曲率257

2.测地线262

1.存在定理278

第四章 曲面理论中的基本方程278

2.曲面的扭曲287

3.矢量的平行移动292

4.拟球面上的几何学297

微分几何发展史简述306

附录314

Ⅰ.隐函数的存在定理314

1.变矢量316

Ⅱ.微分运算在纯变元的矢函数上的推广316

2.矢量的导数319

3.微分法则322

4.二阶导数325

5.微分学的基本定理326

Ⅲ.补充问题328

索引340

人名对照表344