《非线性微分方程》求取 ⇩

1.积分曲线1

1.积分曲线，正向终极时间t+1

第一章 微分方程组解的一般定理1

2.t+=b的条件，n=1的情形4

3.t+=b的条件，一般情形7

4.积分曲线的有界性9

5.Caratthéodory意义下的积分曲线11

2.Lipschitz系统和Carathéodory系统12

1.推广的Gronwall引理12

2.Lipschitz系统，对于两上积分曲线弧的︱x(t)-y(t)︱的估值13

3.唯一性定理，对初值点P0及f的连续相依性15

4.Carathéodory系统16

1.函数φ(t,t0,x0)。唯一性情形17

3.系统(1.1.1)的解φ(t,t0,x0)17

2.φ(t,t0,x0)的连续性19

3.稳定性19

4.线性系统的函数φ(t,t0,x0)23

5.φ(t,t0,x0)的可微性25

6.含参数的系统26

4.周期解27

1.周期积分曲线，周期轨道27

2.例外周期解28

5.自治系统31

1.自治系统及其积分曲线的性质31

2.轨线，相空间32

7.周期的计算33

3.奇点，环，开轨线34

补充35

参考文献38

1.奇点40

第二章 特殊的平面自治系统40

1.线性系统40

2.线性系统的孤立奇点的标准型42

3.相平面的仿射变换45

4.奇点类型的分类47

2.齐次系统53

1.齐次系统53

2.不变射线，星形结点54

3.中心与焦点55

4.孤立不变射线，正规角域57

5.轨线在正规角域中的性态61

6.例子68

3.解析系统70

1.引言70

2.例子72

3.函数Z(x,y),N(x,y)75

4.引理78

5.趋于O的轨线，焦点79

6.方程N(θ)=0，临界点82

7.对Z(x,y)的研究，Z(x,y)定号的情形85

8.Z-扇形域的分类86

2.N(θ)≠0时的中心问题90

1.中心问题90

4.中心问题90

3.m=1的情形，Poincaré方法93

4.m=1的情形，关于中心的Peincaré定理，E.Picard-J.Chazy的证明97

5.m=1的情形，周期的计算101

6.关于中心的Poincaré充分条件，应用于月球运动的Delaunay方程101

7.有关中心问题的文献102

5.无穷远奇点105

1.Poincaré球面，无穷远奇点105

2.例子110

3.齐次系统的无穷远奇点112

补充114

参考文献118

1.解析情形的Briot-Bouquet定理120

1.引言120

第三章 Briot-Bouquet奇点120

2.P不为正整数时的Briot-Bouquet方程，全纯解的研究122

3.P为正整数的情形，全纯解的存在性124

4.P=0时方程的解126

2.在解析情形下，把具有一个孤立奇点的微分方程化为标准型，关于第二类简化方程的轨线性态的Bendixson定理128

1.第一类和第二类简化型式128

2.I.Bendixson关于第二类简化方程的轨线性态的结果134

3.在实数域内Briot-Bouquet方程的结点情形。Winmer定理137

1.A.Wintner引理137

2.A.Wintner第一定理141

3.A.Wintner第二定理143

补充145

参考文献150

1.极限集152

1.轨线r的极限集A(r),Q(r)。一般性质152

第四章 平面自治系统152

2.轨线的分类155

3.常点与常轨线157

4.(平面)闭轨线，平面环的稳定性159

5.(平面)常极限轨线161

6.有界极限集Q(r)的结构164

7.由一个奇点构成的极限集166

8.无界集Q(r)的结构169

2.平面环170

1.极限环170

2.极限环的分类。轨道稳定性173

3.例子173

4.Bendixson定理175

5.C1类系统。环的特征指数177

6.解析系统的环182

7.右端为多项式的系统的极限环186

8.无平面环的区域187

9.平面自治系统的周期解。极限环的存在性188

10.(极限)环的唯一性189

3.孤立奇点189

1.孤立奇点的分类。第一类奇点(中心-焦点)。中心189

2.第二类奇点的领域191

3.集点193

4.例外方向193

5.正规扇形域195

1.Kronecker指标200

4.指标200

2.点的指标205

3.特殊奇点的指标的计算206

4.球面和亏格为p的曲面的指标208

5.相空间是柱面的情形209

1.相空间是柱面的情形209

2.一个例子211

6.相空间为环面的情形212

1.相空间为环面的情形212

2.例子213

3.环面上无奇点的系统214

4.其它结果216

7.动力系统的简单介绍216

参考文献220

第五章 具有扰动项的平面自治系统224

1.齐次扰动系统224

1.一般问题224

2.N(θ)≠0的情形226

3.趋于的O的轨线，例外方向229

4.正规扇形域的不变性。第一类正规扇形域231

5.第二类正规扇形域。第一判定问题232

6.第三类正规扇形域。第二判定问题237

7.N(θ)恒等于零的情形240

8.一些说明241

2.C1类系统的孤立奇点。初等奇点241

1.引言241

2.焦点与弱焦点242

3.吸引点。星形结点243

4.单切结点245

5.双切结点246

6.鞍点248

7.注249

1.问题的叙述。记号250

3.H.Weyl对双切结点和鞍点的渐近性研究250

2.结点情形(0＜l＜k)。H.Weyl第一定理252

3.关于︱elty(t)-b︱,︱x(t)-x0e-hl︱的上界258

4.x(r)=cr5的情形，关于︱y(t)-be-lt︱,︱x(t)︱的上界259

5.k≥l,k＞0的情形，H.Weyl第二定理261

6.参数化系统265

7.双切结点情形，H.Weyl第三定理267

8.鞍点情形(l＜0＜k)。H.Weyl第四定理271

1.引言272

4.C1类系统的孤立奇点，非初等奇点272

2.对于系统?=x+f(x,y),?=g(x,y)的K.A.Keil第一定理273

3.关于等倾线的引理276

4.对于系统?=x+f(x,y),?=g(x,y)的K.A.Keil第二定理与第三定理279

5.K.A.Keil对于系统?=x+f(x,y),?=g(x,y)的进一步结果284

6.1，2，4节的文献注记286

5.结构稳定系统，含参数的系统286

1.结构稳定系统286

2.结构不稳定系统。极限环的生产288

3.含参数系统的极限环290

参考文献292

1.在粘性阻尼作用下，质点的线性运动方程的轨线295

1.在粘性阻尼作用下质点的线性运动方程的轨线295

第六章 某些具单自由度的自治系统295

2.方程？+α？+sinθ-βθ=0，α≥0,β≥0296

1.引言296

2.β＞1的情形。(6.2.3)的周期解z=z(θ)的存在性297

3.0＜β＜1的情形。奇点的分类299

4.极限情形α=0时的轨线301

5.α＞0，0＜β＜1的情形。(6.2.3)的周期解和临界值α(θ0)303

6.θ0=x/2(β=1)的情形309

7.0＜θ0＜x/2(α＞0，0＜β＜1)时的轨线311

8.关于临界值α(θ0)的不等式317

9.M.Urabe计算α(θ0)的方法321

3.张弛振荡的van der Pol方程和Liénard方程322

1.预备知识322

2.Liénard方程周期解的存在性324

3.Liénard方程周期解的唯一性的充分条件326

4.Liénard方程的周期解不唯一的情形328

5.f(x)有第一类间断点时，Liénard方程周期解的存在定理330

6.Liénard方程的比较定理332

8.van der Pol方程。轨线在无穷远处的性态335

9.当参数趋近于无穷时，van der Pol方程的极限环的性态。D.A.Flander和J.J.Stoker定理337

10.含有大参数的van der Pol方程的周期解的周期与振幅的渐近估值339

11.R.Gomory和D.E.Richmond关于极限环的不等式339

4.广义Liénard方程的周期解342

1.A.F.Filippov的第一个定理342

4.一种不存在周期解的情形350

2.A.F.Filippov的第二个定理350

3.唯一性定理350

4.对方程?+f(x,?)?+g(x)=0的研究351

5.方程?+f(x)?+g(x)=0在不作xg(x)＞0(︱x︱＞0)的假定时的周期解355

1.引言355

2.奇点356

3.环及其性质357

5.环的存在性361

1.引言362

6.衰减振动方程A?+f(?)?+Cx=0362

6.环的唯一性的一个准则362

2.原点为稳定点的条件363

3.G.Maigarini的一个定理364

7.一个关于绳索动力学与空气动力学的方程365

1.奇点365

2.系统(6.7.2)所确定的方向场366

3.当参数p充分小时，周期解的存在性369

补充371

参考文献376

1.调和情形的强迫振荡382

第七章 具单个自由度的非自治系统382

1.强迫振荡问题。线性情形382

2.非调和情形的强迫振荡384

3.强迫振荡问题386

2.L.E.J.Brouwer不动点定理，M.L.Cartwright J.E.Littlewood定理及J.L.Massera定理386

1.Brouwer不动点定理386

2.用Brouwer定理证明周期解的存在性389

3.M.L.Cartwright J.E.Littlewood定理390

4.J.L.Massera定理391

1.最终有界性准则394

3.T.Yoshizawa定理394

3.解的稳定性401

2.周期解存在定理401

4.关于周期解的唯一性与稳定性的一个定理407

5.个别解的有界性准则408

6.由Massera定理推导周期解的存在性的一个准则，Mizohata和Yamaguti定理411

4.方程?=F(x,cosωt)的异相调和解。F.John定理412

1.解在整个(-∞，+∞)上存在的问题412

2.关于异相调和解存在的F，John定理417

1.s.Lefschetz,N.Levinson,M.L.Cartwright和J.E.Littlewood等人的结果422

5.方程式x?+f(x)x?+g(x)=p(t)422

2.N.Levinson的一条存在性定理和一条关于渐近稳定性的定理424

3.方程x?+g(x)=p(t),p(t)为偶函数。G.R.Morris定理428

4.奇周期调和解。关于具强迫项的Duffing方程的W.S.Loud定理429

5.关于方程式?+f(x)？+λ2x=Fsin ωt(λ＞0，ω＞0，F＞0)的周期解的D.Grafli不等式430

6.方程式x?+F(x?)+x=p(t)432

1.R.Caccioppoli,A.Ghizzetti和A.Aacari关于周期解的存在性、唯一性与稳定性的准则432

2.关于绳索力学的一个微分方程。J.Cecconi和F.Stoppelli的结果435

1.方程?+kf(x)?+g(x)=kp(t)437

7.关于方程式?+kf(x)?+g(x)=kp(t)和?+kF(?)+g(x)=kp(t)的G.E.H.Reuter定理437

2.方程?+kF(?)+g(x)=kp(t)441

8.方程?+f(x,?)?+g(x)=p(t)442

1.H.A.Antosiewicz关于解的正向有界性的准则442

2.N.Levinton和C.E.Langenhop关于周期解的存在性的准则443

9.具有次调和解的非线性系统447

1.次调和解447

2.D类系统448

3.D类系统的变换的不动点的分类449

4.N.Levinson和J.L.Massera关于次调和解的个数的定理451

10.关于周期解的一般讨论452

1.自治系统452

2.周期的非自治系统453

补充454

参考文献460

第八章 线性系统466

1.伴随系统。T.Wazewski不等式466

1.伴随系统466

2.Wazewski不等式467

1.标准基本解矩阵469

2.常系数线性自治系统469

2.齐次系统解的形式。特征指数。型数470

3.实系统的奇点472

4.n=3的(实)情形474

3.线性周期系统477

1.标准基本解矩阵。Floquet定理和Lyapunov定理477

2.特征指数。型数478

4.可约系统481

1.可约系统。特征指数和型数481

1.函数的型数482

5.函数的型数。t-相似关系482

2.t-相似关系(或运动相似)483

3.非零解的型数484

4.正规解组。数Smin485

5.关于Smin的不等式。非正则常数487

6.正则系统488

1.正则系统488

2.Pelron定理490

3.三角形矩阵490

1.线性齐次系统491

7.周期解491

2.线性非齐次系统492

3.拟线性周期系统调和解的存在性495

补充498

参考文献499

第九章 稳定性502

1.V函数方法502

1.引言502

2.V函数503

3.T.Wazewski引理505

4.稳定性的充分条件506

5.稳定的必要条件。逆问题508

6.渐近稳定性509

7.全局渐近稳定性511

8.其它类型的稳定性512

9.不稳定性513

10.用V函数研究有界性514

2.线性系统的稳定性516

1.稳定的和不稳定的线性系统516

2.一致稳定的线性系统518

3.一致稳定性与t∞-相似519

4.一致稳定性的准则521

5.与零可约的线性系统和限制稳定性523

6.线性系统的渐近稳定性527

7.常系数线性系统的V函数530

3.按一次近似判定稳定性530

1.引言530

2.按线性一次近似决定稳定性532

3.几个推广与注释。L(v,N)性质535

4.渐近稳定性。非线性一次近似的情形537

5.解析系统。临界情形538

6.轨道(渐近)稳定性。积分流形近傍的解的性态539

4.渐近等价性542

1.渐近等价性542

2.H.Weyl定理542

3.关于渐近等价性的其它结果547

补充与问题548

参考文献552