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第一章 总论1

1 差分格式的构造2

1.1 古典差分格式2

1.2 基于各种物理定律的差分格式4

1.3 基于变分原理的差分格式7

1.4 其它类型的差分格式11

2 线性差分格式的稳定性和收敛性13

2.1 线性方程的初值问题13

2.2 不适定的初值问题21

2.3 一般形式的线性差分格式27

2.4 线性特征值问题34

3 非线性差分格式的稳定性和收敛性43

3.1 非线性问题的广义稳定性44

3.2 非线性问题的局部稳定性51

3.3 分歧点问题60

4 差分格式稳定性的常用判别法69

4.1 线性初值问题的Fourier方法70

4.2 不适定问题的Fourier方法89

4.3 能量方法97

4.4 非直角坐标问题的能量方法121

4.5 单调矩阵方法127

4.6 离散Green函数方法134

5 偏微分方程定解问题解的存在性139

5.1 线性问题的古典解140

5.2 线性问题的弱解145

5.3 非线性问题149

6.1 特征线方法，解的存在性155

第二章 双曲型方程155

6 一阶双曲型方程组的初值问题155

6.2 矩形网格上的特征型格式164

6.3 二次守恒格式，预估校正法171

6.4 Kreiss的耗散方法180

7 守恒型方程组的初值问题190

7.1 守恒型方程组的弱解和激波190

7.2 守恒型格式和单调格式193

7.3 正型差分格式，弱解的存在性200

7.4 Lax格式和Lax-Wendroff型格式212

7.5 混合开关方法219

7.6 预估校正格式221

7.7 Riemann间断分解，φодунов格式224

7.8 Glimm方法和随机选取法，弱解存在性的另一证明230

7.9 人工粘性法238

7.10 人工压缩法245

7.11 特征型格式和隐式格式247

7.12 质点法和涡团法249

8 一阶双曲型方程组的初、边值问题252

8.1 对称线性双曲型方程组，解的存在性253

8.2 一般线性双曲型方程组的能量方法266

8.3 非线性方程初边值问题的弱解，解的存在性284

8.4 不定边界问题291

9 高阶双曲型方程和非线性波动方程300

9.1 常系数高阶方程的Fourier方法301

9.2 非线性格式的能量方法308

9.3 孤波，Korteweg-de Vries方程的初值问题312

9.4 Korteweg-de Vries方程的初、边值问题318

9.5 RLW方程，高精度差分格式323

9.6 Klein-Gordon方程和Sine-Gordon方程326

9.7 Schr？dinger方程和Dirac方程334

第三章 抛物型方程339

10 线性方程的初值问题339

10.1 线性方程的正型格式，解的存在性339

10.2 John的有界性条件347

10.3 高阶抛物型方程组，离散Green函数方法358

10.4 按L2范数的稳定性373

10.5 高精度格式，外推法377

10.6 传输扩散方程，Πетров-Гαлеркин方法383

10.7 反热传导问题389

11 线性方程的初、边值问题393

11.1 热传导方程的初、边值问题，解的存在性393

11.2 变系数方程，变时间步长方法401

11.3 高阶方程的初、边值问题407

11.4 积分关系法412

11.5 Keller的Box格式418

11.6 配置法，超收敛性422

11.7 边界层型奇异摄动问题，Илъин方法429

11.8 Stefan问题436

12 非线性抛物型方程440

12.1 一些简单的非线性方程441

12.2 半线性方程的极值原理，反应扩散方程及其渐近行为444

12.3 拟线性反应扩散方程组454

12.4 Burgers方程的守恒型格式，解的存在性461

12.5 Burgers方程二次守恒型格式的误差估计467

12.6 Burgers方程的特征型格式，大Reynolds数流动问题478

12.7 粘性流体的涡度方程482

12.8 Navier-Stokcs方程491

12.9 抛物型-双曲型耦合方程组，低Mach数流动497

12.10 可压缩流，电磁流和大气环流方程组501

13 多维初、边值问题的经济算法506

13.1 显式隐式混合格式507

13.2 交替方向显式法510

13.3 交替方向法511

13.4 预估校正格式514

13.5 分裂格式515

13.6 非线性问题的经济算法516

第四章 椭圆型方程523

14 线性椭圆型方程边值问题的古典差分方法523

14.1 二阶线性方程的单调型格式，Laplace方程Dirichlet问题解的存在性523

14.2 高精度单调型格式535

14.3 算子组合法544

14.4 解有奇性的情况549

14.5 Von Neumann问题的差分格式，广义离散Green函数557

14.6 多维边值问题的分裂外推法561

14.7 守恒型差分格式563

14.8 能量方法，高阶方程566

14.9 离散Schauder估计，Poisson方程的解的存在性573

14.10 高阶差商的误差估计，加速收敛的局部平均法583

14.11 舍入误差的概率估计587

15 基于变分和其它原理的方法590

15.1 椭圆型方程和不等方程的变分形式590

15.2 有限元的一般概念602

15.3 Coóoлeв空间的插值理论611

15.4 Гαлеркин方法618

15.5 Петров-Гαлеркин方法624

15.6 广义差分方法627

15.7 最小二乘法636

15.8 不等方程的Гαлеркин方法641

15.9 Schwarz方法643

15.10 配置方法647

15.11 边界积分方法652

15.12 边界值逼近方法658

16 线性特征值问题661

16.1 线性特征值问题及其变分形式662

16.2 Rayleigh-Ritz方法和Pólya方法664

16.3 Гαлеркин方法671

16.4 加速收敛方法676

16.5 Weinberger的差分方法681

16.6 计算高阶和多重特征值的差分方法683

16.7 高精度差分方法，超收敛性693

17 非线性椭圆型方程716

17.1 半线性方程的差分方法717

17.2 半线性方程的孤立解722

17.3 半线性方程的分歧点734

17.4 生物数学中的离散模式743

17.5 拟线性方程的能量方法754

17.6 粘性流体涡度方程的定常问题760

17.7 定常流体动力学的动态松弛法和稳定化方法764

17.8 Navier-Stokes方程的定常问题769

附录773

18 偏微分方程反问题的数值方法773

18.1 反问题的一般概念773

18.2 脉冲谱方法776

18.3 基于积分变换的其他方法782

18.4 摄动方法785

18.5 Backus-Gilbert方法787

18.6 正则化方法790

18.7 拟逆方法795

参考文献799

中文文献799

西文文献801

俄文文献841