《微分方程及其应用》

第一章 引论1

1-1 定义1

1-2 微分方程的应用3

1-3 单摆3

1-4 动物的繁殖4

1-5 常微分方程的形成5

1-6 常微分方程的解8

1-7 常微分方程的几何意义9

1-8 可积的微分方程12

第二章 一阶一次方程13

2-1 引言13

2-2 恰当微分方程13

2-3 分离变量18

2-4 用求积式的解法20

2-5 线性方程22

2-6 线性微分方程的性质25

2-7 线性微分方程的方向场26

2-8 柏努利方程(Bernoulli s Equetion)28

2-9 齐次方程30

2-10 积分曲线的方向场与性质33

2-11 可化为齐次方程的方程35

2-12 变换变量37

2-13 微分方程的不变性39

2-14 黎卡迪方程(Riocati s Equation)40

2-15 总结45

3-2 质点的直线运动48

3-1 引言48

第三章 一阶微分方程的各种应用48

3-3 空气阻力51

3-4 在空气中下落的物体51

3-5 在空气中竖直上抛的物体53

3-6 化学反应55

3-7 质量作用定理56

3-8 一级反应57

3-9 二级反应58

3-10 复杂反应60

3-11 生物动力学62

3-12 动物种类间的关系63

参考文献67

第四章 一阶隐微分方程69

4-1 引言69

4-2 几何意义70

4-3 可以用代数方法解出的微分方程71

4-4 可以用微分法和消去法解出的微分方程72

4-5 奇异解75

4-6 x与y的线性方程78

4-7 克莱洛(Ciairaut)方程79

4-8 几何上的应用，轨线81

第五章 线性微分方程84

5-1 线性方程84

5-2 简化方程84

5-3 R(x)是几个函数的和87

5-4 R(x)是一个复变函数88

5-5 常系数线性微分方程89

5-6 运算子D及f(D)89

5-7 f(D)的其他性质92

5-8 简化方程的解93

5-9 虚根的情形95

5-10 两实根a与-a的情形96

5-11 简单完全方程的解96

5-12 逆运算子97

5-13 完全方程的解98

5-14 l/f(D)的性质99

5-15 R(x)是一多项式101

5-16 R(x)等于eax103

5-17 R(x)等于eaxPk(x)104

5-18 R(x)等于sin ax或cos ax105

5-19 R(x)等于eaxPk(x)sin bx 或 eax Pk(x)cos bx107

5-20 待定系数法109

5-21 常量变异法111

5-22 联立线性微分方程113

逆运算子参考表117

第六章 常系数微分方程的各种应用118

6-1 机械振动118

6-2 减振器122

6-3 电纲124

6-4 电纲的解法126

6-5 机电的相似性128

6-6 两回路电纲129

6-7 复摆133

6-8 梁的弯曲139

6-9 弹性曲线的微分方程140

6-10 其他的微分方程142

6-11 纵向力147

参考文献149

第七章 拉普拉斯变换导论150

7-1 引言150

7-2 初随问题与拉普拉斯变换150

7-3 拉普拉斯变换式151

7-4 拉普拉斯变换对表154

7-5 拉普拉斯变换的性质155

7-6 分项分式的应用156

7-7 常系数线性方程的解158

7-8 拉普拉斯变换的其他性质160

7-9 单位函数H(t)的应用163

7-10 方程组166

7-11 在电学问题上的应用168

7-12 梁的弯曲170

7-13 奇异函数δ(t)171

参考文献173

第八章 高阶微分方程的特殊型174

8-1 引言174

8-3 类型Ⅱ175

8-2 类型Ⅰ175

8-4 类型Ⅲ177

8-5 类型Ⅳ178

8-6 类型Ⅴ 变量x与y中的一个并不显现在方程中178

8-7 类型Ⅵ.等维方程180

8-8 缆绳的平衡184

8-9 变动质量的运动190

参考文献194

9-2 一般方法195

第九章 微分方程的级数解法195

9-1 引言195

9-3 待定系数法199

9-4 线性方程的降阶法202

9-5 一个基本定理205

9-6 高斯方程209

9-7 勒襄特方程211

第十章 图解法与数值解法213

10-1 引言213

10-2 方程y′=f(x，y)的图解积分法214

10-3 自生振荡216

10-4 范实保尔(Van der Fol)方程217

10-5 数值解法222

10-6 泰勒级数法222

10-7 隆奇(Rungo)法224

参考文献227

11-1 引言228

11-2 偏微分方程的建立228

第十一章 偏微分方程228

11-3 可当作常微分方程的方程230

11-4 平面性微分方程231

11-5 一阶方程，几何意义235

11-6 一阶方程的标准型239

11-7 勒襄特变换243

11-8 二阶方程250

11-9 线性方程的性质251

11-10 分离变量法252

12-1 引言255

第十二章 富里哀级数及边值问题255

12-2 富里哀级数256

12-3 只含余弦项或正弦项的富里哀级数258

12-4 一维热传导260

12-5 振动的弦，波动方程264

12-6 振动弹性杆棒269

12-7 梁的横向振动270

附录273

答案280