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第一章 序言1

1.1 实数1

1.2 实数有界集合 下确界与上确界以及完备性7

1.3 数学归纳法11

1.4 实数序列：基本定理19

1.5 实数序列：柯西(Cauchy)准则和波尔察诺-维尔斯特拉斯(Bolzano--Welerstrass)定理35

1.6 n维向量空间Rn45

1.7 叉积62

1.8 拓扑初步：开集和闭集、聚点70

1.9 Rn中的点列 有关的拓扑概念77

1.10 紧性、连通性和凸性89

第二章 一元函数：连续性和可微性100

2.1 函数极限的一般概念100

2.2 实数序列和函数极限的关系109

2.3 单边极限115

2.4 无穷远处的极限 无穷极限 复合函数119

2.5 连续性和可微性128

2.6 关于连续性的一般结论 拓扑推论137

2.7 分析中连续性的重要结果147

2.8 分析中可微性的重要结果157

2.9 中值定理的推广165

2.10 罗毕塔(Hospital)法则174

2.11 一致连续性189

第三章 多元函数和变换195

3.1 Rn中的函数的极限195

3.2 连续性和一致连续 拓扑结果205

3.3 Rn中的变换 极限和连续性213

3.4 偏导数221

3.5 可微性和微分234

3.6 方向导数和梯度245

3.7 物理应用 调和函数 散度和旋度254

第四章 变换的微分学：隐函数和逆变换262

4.1 线性变换与矩阵262

4.2 微分变换271

4.3 连锁规则及其应用278

4.4 多元函数的中值定理及其推广290

4.5 逆变换298

4.6 逆映射定理307

4.7 逆映射定理的应用 曲线坐标318

4.8 隐函数325

4.9 隐函数定理332

4.10 函数的相关性341

4.11 无约束极值346

4.12 约束极值与等位曲线356

5.1 一元函数黎曼(Riemann)积分的定义 分割371

第五章 积分学371

Ι 关于单变量函数的理论371

5.2 上积分和下积分的性质 可积性与连续性379

5.3 可积的充分必要条件386

5.4 积分存在性定理的推论 积分的基本性质396

5.5 基本定理及其有关的结论405

5.6 零测度的集合417

5.7 勒贝格(Lebesgue)定理424

5.8 无穷积分限的广义积分432

5.9 第二型广义积分与混合型广义积分446

5.10 嗄玛(Gamma)函数453

Ⅱ 多变量理论459

5.11 Rn上的黎曼积分459

5.12 关于Rn中矩形上积分的性质 可积性条件矩形的勒贝格定理469

5.13 Rn中的有界子集上的积分 约当(Jordan)容量477

5.14 累次积分和重积分491

5.15 重积分的变量替换以及重积分的应用503

5.16 广义重积分512

第六章 曲线积分和曲面积分525

Ι 曲线积分525

6.1 平面上的曲线积分525

6.2 平面曲线积分的物理应用536

6.3 曲线积分和曲线的参数表示543

6.4 平面中的格林(Green)定理551

6.5 格林定理的应用566

6.6 曲线积分与路径的无关性572

6.7 正合性与连通性及其应用582

Ⅱ 曲面积分591

6.8 曲面591

6.9 曲面面积599

6.10 曲面积分610

6.11 曲面积分的应用614

6.12 三维空间的基本区域与散度定理620

6.13 散度定理的应用625

6.14 有向曲面和斯托克斯(Stokes)定理637

6.15 斯托克斯定理在电磁场理论中的应用652

第七章 无穷级数659

7.1 常数项无穷级数的定义及其例子659

7.2 正项级数收敛的标准判别法668

7.3 任意项级数686

7.4 狄尼克雷(Dirichlet)收敛判别法694

7.5 无穷级数的项的重排与乘积699

7.6 拉阿伯(Raabe)判别法及其它有关判别法708

7.7 级数余项的估计718

7.8 幂级数及其收敛区间731

7.9 马克劳林(Maclaurin)级数和泰勒(Taylor)级数744

7.10 幂级数的一般性质758

7.11 实解析函数763

第八章 一致收敛769

8.1 函数序列 点态收敛769

8.2 一致收敛序列和一致收敛级数777

8.3 一致收敛与保持解析性质785

8.4 M--判别法及其推论800

8.5 一致收敛的其它判别法和狄里(Dini)定理807

8.6 关于幂级数一致收敛的推论823

8.7 普通理论的应用及贝塞尔(Bessel)函数和勒让德(Legendre)函数830

8.8 函数的积分表达式和莱布尼兹(Leibniz)规则844

8.9 积分的一致收敛性856

8.10 广义积分的莱布尼兹规则870

8.11 嗄玛函数与拉普拉斯(Leplace)变换的解析性质875

第九章 傅立叶(Fourier)分析893

9.1 三角级数的概念893

9.2 周期函数和它们的傅立叶级数897

9.3 函数的傅立叶级数的展开式909

9.4 傅立叶级数第一基本定理922

9.5 一般理论的解释931

9.6 收敛性的定义 第二基本定理942

9.7 傅立叶级数的微分和积分 一致收敛性957

9.8 正弦级数和余弦级数 延拓968

9.9 物理应用976

9.10 傅立叶积分991

附录 处处连续但处处不可微的函数1007

参考文献1012

部分练习的答案1014