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微积分与数学软件简介——代绪论1

第一章函数12

1.1 函数及其图形12

1.1.1 函数概念12

1.1.2 函数的图形17

1.1.3 函数的表示法20

1.1.4 分段函数21

1.1.5 函数的几种特性25

习题1.130

1.2 函数运算和图形变换32

1.2.1 函数四则运算32

1.2.2 函数的复合运算34

1.2.3 反函数37

1.2.4 初等函数42

1.2.5 双曲函数相反双曲函数50

1.2.6 函数图形变换53

习题1.258

1.3 演示与实验(计算机函数作图)60

习题1.370

总习题一71

第二章极限73

2.1 函数的极限73

2.1.1 函数极限的定义73

2.1.2 单侧极限86

2.1.3 自变量趋向无穷时的函数极限89

2.1.4 无穷小量与无穷大量93

习题2.196

2.2 极限的性质98

2.2.1 无穷小量的性质98

2.2.2 极限运算性质100

2.2.3 夹逼定理和两个重要极限110

2.2.4 无穷小的比较及应用116

习题2.2120

2.3 函数的连续性123

2.3.1 函数连续性的定义124

2.3.2 函数的间断点127

2.3.3 连续函数的运算129

2.3.4 初等函数的连续性133

2.3.5 闭区间上的连续函数的性质134

习题2.3139

2.4 演示与实验(极限概念.极限计算)141

习题2.4146

总习题二147

第三章导数150

3.1 导数概念150

3.1.1 导数的定义150

3.1.2 导函数、函数求导举例156

3.1.3 可导与连续的关系.可导的充分必要条件.不可导举例162

习题3.1167

3.2 函数的和、差、积、商的求导法则170

习题3.2176

3.3 反函数的导数.复合函数求导的链式法则178

3.3.1 反函数的导数178

3.3.2 链式法则182

3.3.3 双曲函数与反双曲函数的导数187

习题3.3188

3.4 隐式求导法.参数方程表示函数的导数.极坐标表示曲线的切线191

3.4.1 隐式求导法191

3.4.2 参数方程表示函数的导数197

3.4.3 极坐标表示曲线的切线202

习题3.4205

3.5 高阶导数208

习题3.5213

3.6 变化率问题举例216

3.6.1 自然科学和社会科学中的变化率问题216

3.6.2 相关变化率224

习题3.6229

3.7 微分 线性近似232

3.7.1 微分232

3.7.2 线性近似237

习题3.7239

3.8 牛顿法241

习题3.8248

3.9 演示与实验(导数概念、牛顿法、导数计算)250

习题3.9255

总习题三256

第四章 中值定理和导数的应用262

4.1 微分中值定理262

4.1.1 费马定理262

4.1.2 罗尔中值定理264

4.1.3 拉格朗日中值定理266

4.1.4 柯西中值定理269

习题4.1271

4.2 泰勒公式272

4.2.1 泰勒公式272

4.2.2 几个常用函数的麦克劳林公式276

习题4.2279

4.3.1 关于0/0型不定式的洛必达法则280

4.3 洛必达法则280

4.3.2 关于∞/∞型不定式的洛必达法则282

4.3.3 若干例子283

4.3.4 其他类型的不定式286

习题4.3288

4.4 函数的单调性及其判别法289

习题4.4293

4.5 函数的极值和最值294

习题4.5299

4.6 函数的凸性和曲线的拐点.渐近线300

4.6.1 函数的凸性和曲线的拐点300

4.6.2 渐近线304

习题4.6307

4.7 函数图形的描绘309

习题4.7315

4.8 最大最小值的应用问题315

4.8.1 经济学中的最大最小值问题316

4.8.2 其他应用问题320

习题4.8323

4.9 平面曲线的曲率327

4.9.1 弧微分327

4.9.2 曲率及其计算公式328

4.9.3 曲率半径，曲率圆332

习题4.9335

4.10 演示与实验(泰勒公式——函数的多项式逼近，利用导数知识控制计算机作图)336

习题4.10342

总习题四343

第五章积分348

5.1 定积分概念348

5.1.1 引例348

5.1.2 定积分的定义353

5.1.3 定积分的基本性质359

习题5.1365

5.2 微积分基本定理367

5.2.1 微积分第一基本定理368

5.2.2 原函数和不定积分372

5.2.3 微积分第二基本定理376

习题5.2381

5.3 基本积分法383

5.3.1 第一类换元法384

5.3.2 第二类换元法391

5.3.3 分部积分法397

5.3.4 几种特殊类型函数的积分403

5.3.5 数值积分法412

习题5.3422

5.4 广义积分428

5.4.1 无穷区间上的广义积分428

5.4.2 无界函数的广义积分432

5.4.3 广义积分的比较审敛法435

习题5.4436

5.5 演示与实验(定积分概念、原函数概念、积分计算与数值积分)437

习题5.5445

总习题五446

第六章定积分的应用450

6.1 平面图形的面积450

习题6.1457

6.2 体积459

6.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积459

6.2.2 旋转体的体积461

习题6.2468

6.3 平面曲线的弧长471

习题6.3478

6.4 旋转曲面的表面积479

习题6.4482

6.5 函数平均值483

习题6.5486

6.6 物理应用487

6.6.1 功487

6.6.2 液体的静压力492

6.6.3 静力矩和重心495

习题6.6503

6.7 其他应用举例507

6.7.1 消费者盈余507

6.7.2 连续复利现金流的现值508

6.7.3 人体血液流量的计算509

6.7.4 人体心脏输出的血液量的测量510

习题6.7511

6.8 演示与实验(落针问题、旋转体体积)512

习题6.8515

总习题六516

第七章微分方程525

7.1 微分方程的基本概念525

习题7.1528

7.2 一阶微分方程529

7.2.1 变量可分离的微分方程529

7.2.2 齐次微分方程534

7.2.3 一阶线性方程535

7.2.4 伯努利方程538

7.2.5 欧拉法540

习题7.2544

7.3 高阶微分方程的降阶法546

习题7.3554

7.4 线性微分方程解的结构554

7.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构555

7.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构557

7.4.3 常数变易法558

习题7.4560

7.5 二阶常系数线性微分方程561

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程561

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程565

7.5.3 欧拉方程570

习题7.5573

7.6 二阶线性微分方程应用问题举例574

7.6.1 弹簧振动问题574

7.6.2 R-L-C 串联电路问题579

习题7.6581

7.7 演示与实际(解微分方程，一阶微分方程数值解——欧拉法)582

习题7.7587

总习题七588

微积分应用课题591

附录1 数学软件 Mathematica 简介596

附录2 本书所配磁盘的使用方法613

附录3 微积分应用课题解答选录620

习题答案628