《微分方程论》

第一章解的存在性及唯一性定理1

1 积分方程的概念1

2 Banach 不动点原理及其应用5

2.1 F-Ⅱ 方程解的存在唯一性5

2.2 叠核和预解核11

2.3 V-Ⅱ 方程解的存在唯一性21

3 退化核28

4 L2 核方程的 Fredholm 定理34

5 弱奇性核45

5.1 预备定理46

5.2 存在唯一性定理51

5.3 弱奇性核方程的 Fredholm 定理53

6 Schauder 不动点原理及其应用59

6.1 Brouwer 不动点定理59

6.2 Schauder 不动点定理64

6.3 Schauder 不动点定理的应用69

第一章习题75

第二章连续核·Fredholm 工具78

1 Fredholm 行动式及其一阶子式78

1.1 Dn(λ) 及其极限79

1.2 Fredholm 一阶子式83

1.3 弱奇性核的 Fredholm 工具90

1.4 D(λ) 的零点与特征值92

2 D(λ) 的构造·特征值94

2.1 与整函数有关的概念95

2.2 初步结果98

2.3 进一步的结果101

2.4 特征值存在定理103

2.5 满足 H?lder 条件的连续核104

3 正值连续核106

第二章习题110

1 紧算子和自伴算子112

第三章对称核·特征值理论112

2 特征值存在定理118

3 展开定理121

4 含紧自伴算子的 Fredholm 方程132

4.1 线性 F-Ⅱ 方程132

4.2 线性 F-Ⅰ方程135

5 二阶正则微分算子137

5.1 Sturm-Liouville 问题137

5.2 二阶正则微分算子的逆140

5.3 一般情况155

5.4 零特征值的情形158

5.5 非正则微分算子的情形161

6 展开定理(续)·正算子165

6.1 关于叠核的展开165

6.2 Mercer 定理168

7 正则微分算子的特征值175

8 特征值的近似值182

第三章习题188

第四章第一种方程192

1 F-Ⅰ方程概述192

2 特征值存在定理196

3 展开定理·可解条件199

4 收敛性定理204

5 正定核·另一逼近法213

6 V-Ⅰ方程216

第四章习题219

第五章积分变换理论和卷积型方程221

1 L1 中的 Fourier 变换221

2 L2 中的 Fourier 变换232

2.1 Plancheral 定理232

2.2 卷积定理241

2.3 特征值定理245

2.4 Fourier 余弦及正弦变换248

3.1 Fredholm 型卷积方程249

3 Fourier 变换的应用249

3.2 应用于解偏微分方程252

4 Laplace 变换256

5 Hankel 变换265

6 Mellin 变换271

第五章习题279

第六章投影方法282

1 Hilbert 变换282

1.1 Hilbert 变换的存在性及性质283

1.2 一些例子289

2 投影定理299

3 乘子定理301

4 边值定理及因子化312

5 Winer-Hopf 方法(Ⅰ)323

6 指标·Winer-Hopf 方法(Ⅱ)330

6.1 齐次方程，n＞0332

6.2 齐次方程，n＜0332

6.3 非齐次方程，n＜0335

6.4 非齐次方程，n＞0338

第六章习题345

参考文献347

名词索引348