《常微分方程初值问题的数值解法》求取 ⇩

1.导论1

1.1.要解决的问题1

1.2.数值近似解8

1.3.例子--Euler方法11

1.3.1.误差估计15

1.3.2.误差估计与实际误差的比较17

1.3.3.稳定性19

1.3.4.舍入误差21

1.3.5.由数值近似产生的扰动24

问题27

2.高阶单步方法30

2.1.Taylor级数方法30

2.2.Richardson外插法(h=0)31

2.3.二阶Runge-Kutta方法32

2.4.显式Runge-Kutta方法37

2.4.1.经典的Runge-Kutta方法42

2.4.2.Ralston Runge-Kutta方法43

2.4.3 Butcher关于Runge-Kutta方法可达到阶的结果44

2.5 隐式Runge-Kutta方法45

2.5.1 隐式Runge-Kutta方法的实际应用48

2.6 收敛性和稳定性49

2.6.1.显式Runge-Kutta方法的稳定区域50

2.6.2.隐式Runge-Kutta方法的稳定区域52

问题53

3.方程组和高阶方程55

3.1.单步方法应用于方程组56

3.2.高阶方程简化为一阶方程组57

3.3.高阶方程的直接方法58

3.3.1.Taylor级数方法58

3.3.2.Runge-Kutta方法59

问题62

4.单步方法的收敛性、误差界和误差估计63

4.1.向量和矩阵模64

4.2.存在性和Lipschitz条件66

4.3.收敛性和稳定性67

4.4.误差界和收敛的阶72

4.5.渐近误差的估计74

4.5.1.由数值近似产生的扰动78

4.6.误差界和估计定理的一般应用80

4.6.1.Taylor级数方法81

4.6.2.Runge-Kutta方法82

4.6.3.对连续导数的要求83

4.7.变步长83

问题85

5.步长和阶的选取87

5.1.阶的选取88

5.2.步长的选取92

5.3.误差的实际控制95

5.4.局部截断误差的估计97

5.4.1.步数加倍98

5.4.2.Runge-Kutta-Merson方法102

问题103

6.外插方法105

6.1.多项式外插105

6.1.1.多项式外插的例107

6.1.2.舍入误差的影响107

6.1.3.稳定性110

6.1.4.高阶方法110

6.2.有理函数外插112

问题121

7.1.多值方法122

7.多值或多步方法--导论122

7.2.显式多步方法--Adams-Bashforth方法124

7.2.1.系数的生成函数129

7.2.2.推导Adams-Bashforth方法的另外两个办法131

7.2.3.Adams-Bashforth方法的截断误差132

7.3.隐式多步方法--Adams-Moulton方法134

7.4.预估-校正方法137

问题138

8.一般的多步方法、阶和稳定性140

8.1.多步方法的阶141

8.1.1.给定α，β的一个确定另一个144

8.1.2.方法的主根146

8.2.Milne方法147

8.2.1.对于y =λy Milne方法的稳定性149

8.3.一般的多步方法的稳定性151

8.3.1.绝对稳定性153

8.4.四阶三步方法类160

问题163

9.多值方法165

9.1.误差的性态166

9.1.1.预估-校正方法的稳定性167