《常微分方程数值解法 刚性问题与边值问题》

第一部分刚性常微分方程数值解法1

第一章 初值问题数值方法的基本理论1

1 引言1

2 相容性、收敛性与稳定性4

2.1 相容性与收敛性4

2.2 稳定性与收敛性8

3 线性多步法的一般理论13

3.1 多步法公式的阶与误差常数13

3.2 收敛性与稳定性19

3.3 误差估计23

4 绝对稳定性与绝对稳定域27

4.1 绝对稳定性27

4.2 绝对稳定域32

4.3 边界轨迹法35

附录 线性差分方程37

习题40

第二章 刚性常微分方程与线性多步法43

1 刚性常微分方程43

2 刚性方程的稳定性概念49

3 线性多步法的稳定性53

3.1 线性多步法的 A 稳定性54

3.2 线性多步法的 A(a)稳定性与 A0稳定性59

3.3 线性多步法的刚性稳定性63

4 解刚性方程的线性多步法64

4.1 向后差分公式64

4.2 改进的向后差分方法67

4.3 含二阶导数的线性多步法70

5.1 隐性问题与解非线性方程组的迭代法73

5 求解刚性方程数值方法的具体实现73

5.2 向后差分公式的数值实现75

5.3 数值例题与方法比较77

5.4 解刚性方程的计算危险性问题80

习题84

第三章 隐式 Runge-Kutta 方法87

1 隐式 RK 方法的建立87

1.1 RK 方法的一般结构87

1.2 基于数值求积的隐式 RK 方法89

2 隐式 RK 方法的 A 稳定性98

2.1 稳定性函数98

2.2 ez 的 Pad？逼近与可接受性100

3.1 B 稳定性与代数稳定性104

3 隐式 RK 方法的其他稳定性104

3.2 几种稳定性概念的相互关系109

4 隐式 RK 方法的实现114

4.1 RK 方法中非线性方程组解的存在唯一性115

4.2 修改的 Newton 迭代法116

4.3 数值例题119

5 对角隐式与半隐式方法121

5.1 对角隐式 RK 方法121

5.2 半隐式 RK 方法123

习题127

第四章 解刚性方程的其他方法131

1 指数拟合法131

2.1 方法的基本思想137

2 Richardson 外插法137

2.2 梯形法的整体外插139

2.3 隐式中点公式的外插法143

2.4 梯形法的局部外插145

3 非线性方法149

3.1 逆 Euler 法149

3.2 多步非线性方法150

3.3 Runge-Kutta 型方法153

4 边界层方法153

4.1 奇异摄动问题解的渐近展开153

4.2 边界层型数值方法158

4.3 不依赖小参数的方法162

习题167

1 引言169

第五章 打靶法169

第二部分边值问题数值解法169

2 单点打靶法171

2.1 打靶法基本思想171

2.2 线性边值问题打靶法172

3 非线性问题与 Newton 型迭代法177

3.1 Newton 迭代打靶法177

3.2 Newton 法收敛性与误差分析180

3.3 Newton 型迭代法与 Broyden 打靶法185

4 并行打靶法191

4.1 线性问题并行打靶法191

4.2 非线性问题并行打靶法193

习题198

1 连续法基本思想200

第六章 连续法与不变嵌入法200

2 解边值问题的连续法205

2.1 两种微分算子方程205

2.2 解带参数方程的双层格式209

2.3 参数摄动法212

3 不变嵌入法214

3.1 线性边值问题不变嵌入法215

3.2 非线性边值问题不变嵌入法218

习题223

第七章 有限差分法226

1 引言226

2 线性边值问题的差分方法228

3 两点格式差分方程的解法234

4 非线性问题差分方法238

习题245

第八章 特征值问题与奇异问题247

1 特征值问题数值方法247

1.1 特征值问题247

1.2 特征值问题打靶法249

1.3 特征值问题有限差分法251

1.4 非线性特征值问题255

2 正则奇点边值问题258

3 半无穷区间边值问题262

4 奇异摄动问题数值方法265

习题268

参考文献271