《代数学引论 上》

第一部分代数学的基础1

第一章 代数学的起源3

1 代数简述4

2 一些典型问题9

1 用根式表示方程的根的可能性9

2．分子状态11

3．编码信息11

4．平板的受热问题12

1．名词13

3线性方程组．第一阶段13

2．线性方程组的等价16

3．化为阶梯形17

4．对一个线性方程组的研究19

5．一些评注和例题21

4低阶行列式23

习题27

5集合与映射28

1．集合28

2．映射31

习题35

6等价关系．商映射36

1．二元关系36

2．等价关系37

3．商映射38

4．序集40

习题42

7数学归纳法原理42

1．算术基本定理47

8整数的算术47

2．Z中的g.c.d和l.c.m48

3．Z中的带余除法49

习题50

第二章 向量空间．矩阵51

1 向量空间51

1．问题的提出51

2．基本定义52

3．线性组合．线性包54

4．线性相关性56

5．基．维数57

习题60

2矩阵的秩61

1．方程组的回顾61

2．矩阵的秩62

3．可解性判别准则65

习题66

3线性映射．矩阵运算67

1．矩阵和映射67

2．矩阵乘法70

3．方阵73

习题79

4 解空间81

1．解齐次线性方程组81

2．线性流形．解非齐次线性方程组85

3．矩阵乘积的秩86

4．矩阵的等价类87

习题91

1．用归纳法构造93

第三章 行列式93

1 行列式构造和基本性质93

2．行列式的基本性质97

习题103

2行列式的进一步性质103

1．沿任一列展开行列式103

2．行列式关于列的性质104

3．转置行列式105

4．特殊矩阵的行列式108

5．行列式的公理化112

习题114

3行列式的应用115

1．非奇异矩阵的判别准则115

2．计算矩阵的秩119

习题120

第四章 代数系统——群，环，域122

1 具有代数运算的集合122

1．二元运算122

2．半群和幺半群123

3．结合律的推广．幂125

4．可逆元素127

习题128

2 群128

1．定义和例子128

2．生成子系131

3．循环群133

4．对称群和交错群135

习题143

3群的态射145

1．同构145

2．同念149

3．术语汇编．例子151

4．子群的陪集153

5．单同态sR→GL（n）157

习题160

4环和域161

1．环的定义和一般性质161

2．同余式．剩余类环165

3．环同态和理想167

4．商群和商环的概念169

5．环的类型．域172

6．域的特征176

7．关于线性方程组的补充说明179

习题182

1 复数域184

1．辅助结构184

第五章 复数和多项式184

2．复平面186

3．复数运算的几何解释186

4．乘幂和方根190

5．唯一性定理192

习题195

2多项式环196

1．一个变元的多项式197

2．多变元的多项式202

3．带余除法205

习题207

3多项式环的因式分解209

1．整除性质初步209

2．环中的g.c.d.和l.c.m212

3．欧几里得环中的唯一因子分解215

4．不可约多项式218

习题221

4 分式域222

1．一个整环的分式域的构造222

2．有理函数域225

3．准素有理函数226

习题229

第六章 多项式的根231

1根的一般性质231

1．根和线性因子231

2．多项式函数234

3．多项式环中的微分法236

4．重因式238

5．维塔公式240

习题243

2对称多项式245

1．对称多项式环245

2．关于对称多项式的基本定理246

3．待定系数法249

4．多项式的判别式252

5．结式255

习题258

1．基本定理的叙述259

3 C是代数封闭的259

2．多项式的分裂域261

3．基本定理的证明265

4 实系数的多项式269

1．R［X］中的因式分解269

2．分离多项式的根的问题270

3．稳定多项式275

习题277

习题的提示279

名词索引284