《现代数学引论》

绪论—现代数学的特点和意义1

一、现代数学是数学发展的新阶段1

二、现代数学的特点2

三、普及现代数学教育的意义12

第一章集合与映射15

1 逻辑命题及其相反命题的表述15

2 集合及其运算17

3 二元关系21

4 映射23

5 序结构26

6 实数集30

7 集合的势34

8 数学系统和其同构42

习题一43

第二章代数系统46

1 代数运算及一些常见的运算律46

2 一些常见的代数系统48

3 线性空间56

4 线性算子与线性泛函61

5 张量空间67

6 外积和外代数71

习题二80

第三章拓扑空间和距离空间84

1 拓扑空间84

2 距离空间88

3 拓扑空间中的各种点集93

4 拓扑空间中的收敛101

5 连续映射和同胚映射107

6 拓扑空间中的连通性110

7 完备距离空间114

8 紧集和列紧集124

9 距离空间上的函数族132

习题三138

第四章测度与积分141

1 可测空间与测度空间141

2 外测度及由它导出的测度145

3 Rn上的勒贝格测度149

4 可测函数153

5 可测函数的积分159

6 R上的黎曼积分和勒贝格积分169

7 L空间和L2空间173

习题四179

第五章拓扑线性空间181

1 基本数学结构的复合181

2 拓扑线性空间182

3 距离线性空间184

4 赋范空间186

5 内积空间193

6 赋范空间中的有界线性算子200

7 赋范空间的微分学206

8 广义函数225

9 欧氏空间Rn中的张量234

习题五240

第六章Banach空间及其上的算子244

1 有限维赋范空间244

2 开映照定理和闭图定理248

3 有界线性泛函的延拓定理253

4 有界线性算子序列258

5 赋范空间中的伴随算子263

6 有界线性算子的正则点和谱点266

7 全连续线性算子270

8 全连续线性算子方程277

习题六288

第七章Hilbert空间及其上的算子291

1 正交集和广义富氏级数291

2 Hilbert空间的正交分解和正交归一基296

3 Hilbert空间的对偶空间和伴随算子303

4 Hilbert空间的自伴线性算子308

5 全连续自伴线性算子方程314

6 对线性积分方程的应用320

习题七324

第八章流形上的微积分327

1 流形327

2 微分流形333

3 流形在欧氏空间中的嵌入336

4 流形上的切空间、余切空间340

5 流形上的微分形式346

6 微分形式的外微分353

7 微分流形的定向362

8 流形上微分形式的积分367

9 广义Stokes公式375

习题八384

参考书目388