《李代数与表现理论之导引》

序言1

第一章基本概念1

1.定义与范例1

1.1李代数的观念1

1.2 线性李代数2

1.3 导子李代数6

1.4 抽象李代数7

2.理想与同态9

2.1理想9

2.2 同态与表现12

2.3 自同构13

3.可解李代数与幂零李代数17

3.1可解性17

3.2 幂零性18

3.3 Engel定理的证明20

第二章半单李代数23

4.Lie定理与Cartan定理23

4.1Lie定理23

4.2 Jordan-Chevalley分解26

4.3 Cartan准则29

5.Killing形式33

5.1半单性的判断准则33

5.2 L的单理想35

5.3 内导子36

5.4 抽象的Jordan分解36

6.表现的完全可约性38

6.1模38

6.2 表现的Casimir元素41

6.3 Weyl定理43

6.4 Jordan分解的保存44

7.s1(2, F）的表现48

7.1权与极大向量48

7.2 既约模的分类48

8.根空间分解52

8.1极大环面子代数与根52

8.2 H的中心化子54

8.3 正交性质56

8.4 整数性质58

8.5 有理性质，总結59

第三章根系63

9.公理化63

9.1欧氏空间中的镜射63

9.2 根系64

9.3 范例65

9.4 根对67

10.单根与Weyl羣71

10.1基底与Weyl室71

10.2 有关单根的引理74

10.3 Weyl羣75

10.4 既约的根系78

11.分类82

11.1Φ的Cartan矩阵82

11.2 Coxeter图与Dynkin图示83

11.3 既约成分85

11.4 分类定理85

12.根系与自同构的建构94

12.1A－G型的建构94

12.2 Φ的自同构97

13.权的抽象理论99

13.1权101

13.2 制囿权101

13.3 权δ104

13.4 饱和权集104

第四章同构与共轭定理109

14.同构定理109

14.1简化成单纯的情形109

14.2 同构定理110

14.3 自同构114

15.Cartan子代数116

15.1L关於adx的分解117

15.2 Engel子代数118

15.3 Cartan子代数119

15.4 函子的性质121

16.共轭定理122

16.1羣?（L）122

16.2 CSA的共轭性（可解的情形）123

16.3 Borel子代数125

16.4 Borel子代数的共轭性126

16.5 自同构羣130

第五章存在定理133

17.泛包络代数133

17.1张量与对称代数133

17.2 u（L）的建构135

17.3 PBW定理与其影响137

17.4 PBW定理的证明139

17.5 自由李代数142

18.生成元和关系143

18.1L所满足的关系144

18.2 由（S1)－（S3）推论而得的结果145

18.3 Serre定理148

18.4 应用：存在与唯一定理151

19.单代数153

19.1半单性的判断准则153

19.2 古典代数154

19.3 G2型代数155

第六章表现理论161

20.权与极大向量161

20.1权空间161

20.2 标准循环模162

20.3 存在与唯一定理164

21.有限维模168

21.1有限维的必要条件168

21.2 有限维的充分条件169

21.3 权链与权图172

21.4 V（λ）的生成（衍生）元与关系173

22.重复数公式177

22.1一个泛Casimir元素177

22.2 权空间上的跡179

22.3 Freudenthal公式182

22.4 范例185

22.5 形式特徵标187

23.特徵标190

23.1不变的多项式函数190

23.2 标准循环模与特徵标193

23.3 Horish－Chandra标定理195

附录199

24.Weyl, Kostant及Steinberg等公式203

24.1H*上的一些函数203

24.2 Kosant的重复数公式205

24.3 Weyl公式208

24.4 Steinberg公式211

第七章Chevalley代数与羣215

25.L的Chevalley基底215

25.1根对215

25.2 Chevalley基底的存在性217

25.3 唯一性的问题219

25.4 简化成质数体220

25.5 （正則型）Chevalley羣的建构221

26.Kostant定理225

26.1一个组合引理225

26.2 特别情形：sl(2, F)226

26.3 关于交换的引理228

26.4 Kostant定理的证明230

27.容许格子232

27.1容许格子的存在性232

27.2 容许格子的稳定化子235

27.3 容许格子的种类237

27.4 任意体上的討论239

27.5 相关结果的纵览240

索引243

符号索引253

参考文献256