《数论导引》

第一章整数之分解1

1 整除性1

2 素数及复合数2

3 素数3

4 整数之模4

5 唯一分解定理6

6 最大公因数及最小公倍数7

7 逐步淘汰原则9

8 一次不定方程之解11

9 完全数13

10 Mersenne 数及 Fermat 数14

11 连乘积中素因数之方次数15

12 整值多项式17

13 多项式之分解19

第二章同馀式22

1 定义22

2 同馀式之基本性质22

3 缩剩馀系24

4 p2 可整除2p-1—1否?25

5 ?(m)之讨论28

6 同馀方程30

7 孙子定理32

8 高次同馀式34

9 素数乘方为模之高次同馀方程35

10 Wolstenholme 定理37

第三章二次剩馀38

1 定义及 Euler 判别条件38

2 计算法则40

3 互逆定律42

4 实际算法46

5 二次同馀式之根数48

6 Jacobi 符号49

7 二项同馀式52

8 原根及指数54

9 缩系之构造56

第四章多项式之性质66

1 多项式之整除性66

2 唯一分解定理68

3 同馀式70

4 整系数多项式72

5 以素数为模之多项式73

6 若干关于分解之定理75

7 重模同馀式78

8 Fermat 定理之推广79

9 对模 Ｐ 之不可化多项式81

10 原根82

11 总结83

第五章素数分布之概况85

1 无穷大之阶85

2 对数函数86

3 引言87

4 素数之个数无限90

5 几乎全部整数皆非素数93

6 Чебышев定理94

7 Bertrand 假设97

8 以积分来估计和之数值100

9 Чебышев定理之推论103

10 n 之素因子的个数108

11 表素数之函数111

12 等差级数中之素数问题112

第六章数论函数115

1 数论函数举例115

2 积性函数之性质117

3 M?bius 反转公式118

4 M?bius 变换121

5 除数函数124

6 关于概率之二定理127

7 表整数为二平方之和129

8 分部求和法及分部积分法135

9 圆内整点问题137

10 Farey 贯及其应用140

11 Виноградов 关于函数的分数部分和的估值定理145

12 Виноградов定理对整点问题之应用149

13 ？-结果153

14 Dirichlet 级数159

15 Lambert 级数162

第七章三角和及特征164

1 剩馀系之表示法164

2 特征函数166

3 特征之分类172

4 特征和175

5 Gauss 和178

6 特征和与三角和185

7 由完整和到不完整和186

8 特征和 p∑(x=1)((x2+ax+b)/p)之应用举例190

9 原根之分布问题193

10 含多项式之三角和196

1 引言202

第八章与椭圆模函数有关的几个数论问题202

2 整数分拆203

3 Jacobi 等式204

4 分式表示法209

5 分拆之图解法211

6 p(n)之估值214

7 平方和问题220

8 密率226

9 关于平方和问题之总结232

第九章素数定理234

1 引言234

2 Riemann? 函数236

3 若干引理239

4 Tauber 型定理242

5 素数定理246

6 Selberg 渐近公式248

7 素数定理的初等证明250

8 Dirichlet 定理258

第十章渐近法与连分数264

1 简单连分数264

2 连分数展开之唯一性268

3 最佳渐近分数271

4 Hurwitz 定理272

5 实数之相似275

6 循环连分数280

7 Legendre 之判断条件282

8 二次不定方程284

9 Pell 氏方程286

10 Чебышев定理及Хинчин定理289

11 一致分布及n?(m？d1)之一致分布性293

12 一致分布之判断条件295

第十一章不定方程301

1 引言301

2 一次不定方程301

3 二次不定方程303

4 解 axy2+bxy+cy2=κ304

5 求解方法309

6 商高 定理之推广313

7 Fermat 猜测318

8 Mapков方程320

9 解方程 x3+y3+z3+w3=0322

10 三次曲面之有理点326

第十二章二元二次型334

1 二元二次型之分类334

2 类数有限336

3 Kronecker 符号339

4 二次型表整数之表法数341

5 二次型的 mod q 相似343

6 二次型的特征系.族348

7 级数 K(d)之收敛性350

8 双曲扇形及椭圆内的整点数352

9 平均极限353

10 类数的解析表示法356

11 基本判别式356

12 类数公式357

13 Pell 氏方程的最小解361

14 若干引理364

15 Siegel 定理366

第十三章模变换372

1 复虚数平面372

2 线性变换之性质373

3 线性变换下之几何性质376

4 实变换377

5 模变换382

6 基域383

7 基域网387

8 模群之构造388

9 二次定正型389

10 二次不定型390

11 二次不定型的极小值393

第十四章整数矩阵及其应用398

1 引言398

2 矩阵之积404

3 模方阵之演出元素410

4 左结合414

5 不变因子.初等因子416

6 应用419

7 因子分解.标准素方阵420

8 最大公约.最小公倍425

9 线性模429

第十五章p-adic 数435

1 引言435

2 赋值之定义438

3 赋值之分类440

4 亚几米得赋值442

5 非亚几米得赋值443

6 有理数之？-扩张446

7 扩张之完整性450

8 p-adic 数之表示法452

9 应用456

1 代数数458

第十六章代数数论介绍458

2 代数数域460

3 基底462

4 整底466

5 整除性470

6 理想数474

7 理想数的唯一分解定理476

8 理想数的基底481

9 同馀关系483

10 素理想数484

11 单位数489

12 理想数类490

13 二次域与二次型492

14 族497

15 欧几里得域与单域499

16 判断 Mersenne 数是否素数之 Lucas 条件501

17 不定方程503

18 表509

第十七章代数数与超越数529

1 超越数之存在定理529

2 Liouville 定理及超越数例子531

3 代数数的有理逼近定理533

4 Roth 定理之应用553

5 Thue 定理之应用555

6 e 之超越性558

7 π 之超越性561

8 Hilbert 第七问题563

9 Гельфонд之证明566

2 g(k) 及 G(k) 之下限569

1 引言569

第十八章Waring 问题及 Prouhet-Tarry 问题569

3 Cauchy 定理571

4 初等方法示例574

5 有正负号之较易问题578

6 等幂和问题580

7 Prouhet-Tarry 问题582

8 续586

第十九章Шнирельман密率588

1 密率之定义及其历史588

2 和集及其密率589

3 Гольдбах-Шниреман 定理592

4 Selberg 不等式593

5 Гольдбах-Шниреман 定理之证明599

6 Waring-Hilbert 定理603

7 Waring-Hilbert 定理的证明605

第二十章数的几何609

1 二维空间之情况609

2 Minkowski 之基本定理612

3 一次线性式613

4 二次定正型615

5 线性型之乘积617

6 联立渐近法619

7 Minkowski 不等式620

8 线性型之乘方平均值627

9 Чеботарев定理629

10 在代数数论上的应用631

11 ？△？的极小值634

参考书目639

名词索引641