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历史介绍1

第一章 算术基本定理17

1．1 引言17

1．2 整除性18

1．3 最大公约数19

1．4 素数21

1．5 算术基本定理22

1．6 素数倒数的级数24

1．7 Euclid算法25

1．8 两个以上的数的最大公约数27

第一章 习题28

2．2 Mobius函数μ(n)33

第二章 数论函数与Dirichlet乘积33

2．1 引言33

2．3 Euler函数ψ(n)34

2．4 ψ与μ的相互关系36

2．5 ψ(n)的一个乘积公式37

2．6 数论函数的Dirichlet乘积39

2．7 Dirichlet逆函数与Mobius反转公式41

2．8 Mangoldt函数Λ(n)43

2．9 积性函数45

2．10 积性函数与Dirichlet乘积46

2．11 完全积性函数的逆函数48

2．12 Liouville函数λ(n)50

2．13 除数函数σα(n)51

2．14 广义卷积52

2．15 形式幂级数54

2．16 数论函数的Bell级数57

2．17 Bell级数与Dirichlet乘积58

2．18 数论函数的导数59

2．19 Selberg等式61

第二章 习题61

第三章 数论函数的平均值69

3．1 引言69

3．2 大0符号，函数的渐近等式70

3．3 Euler求和公式71

3．4 几个基本渐近公式73

3．5 d(n)的平均阶75

3．6 除数函数σα(n)的平均阶79

3．7 ψ(n)的平均阶81

3．8 对于由原点可见的格点分布的应用82

3．9 μ(n)与Λ(n)的平均阶85

3．10 Dirichlet乘积的部分和86

3．11 对μ(n)与Λ(n)的应用87

3．12 Dirichlet乘积的部分和的另一个等式91

第三章 习题92

第四章 素数分布的几个基本定理99

4．1 引言99

4．2 Chebyshev函数ψ(x)与θ(x)100

4．3 联系θ(x)与π(x)的关系式102

4．4 素数定理的几个等价形式105

4．5 π(n)与pn的一些不等式109

4．6 Shapiro Tauberian定理113

4．7 Shapiro定理的应用117

4．8 部分和∑，≤x(1/p)的一个渐近公式119

4．9 Mobius函数的部分和121

4．10 素数定理初等证明的简概130

4．11 Selberg渐近公式131

第四章 习题133

5．1 同余的定义与基本性质143

第五章 同余式143

5．2 剩余类与完全剩余系147

5．3 一次同余式149

5．4 简化剩余系与Euler-Fermat定理152

5．5 模p的多项式同余式，Lagrange定理154

5．6 Lagrange定理的应用155

5．7 一次同余式组，中国剩余定理157

5．8 中国剩余定理的应用159

5．9 模是素数方幂的多项式同余式161

5．10 交叉分类原理164

5．11 简化剩余系的分解性168

第五章 习题169

6．1 定义173

第六章 有限Abel群及其特征173

6．2 群和子群的例174

6．3 群的基本性质174

6．4 子群的结构176

6．5 有限Abel群的特征179

6．6 特征群181

6．7 特征的正交关系式182

6．8 Dirichlet特征184

6．9 含有Dirichlet特征的和187

6．10 对于实的非主特征χ，L(1，χ)不等于零189

第六章 习题192

7．1 引言197

第七章 算术级数里素数的Dirichlet定理197

7．2 形如4n-1与4n＋1的素数的Dirichlet定理198

7．3 Dirichlet定理的证明方案199

7．4 引理7．4的证明202

7．5 引理7．5的证明204

7．6 引理7．6的证明206

7．7 引理7．8的证明206

7．8 引理7．7的证明207

7．9 算术级数里素数的分布208

第七章 习题210

第八章 周期数论函数与Gauss和213

8．1 模k的周期函数213

8．2 周期数论函数的有限Fourier级数的存在性214

8．3 Ramanujan和及其推广217

8．4 和Sk(n)的乘法性质220

8．5 与Dirichlet特征相伴的Gauss和223

8．6 具有非零Gauss和的Dirichlet特征225

8．7 诱导模与本原特征226

8．8 诱导模的进一步的性质228

8．9 特征的前导子231

8．10 本原特征与可分的Gauss和232

8．11 Dirichlet特征的有限Fourier级数233

8．12 本原特征部分和的Polya不等式234

第八章 习题236

9．1 二次剩余241

第九章 二次剩余与二次互反律241

9．2 Legendre符号及其性质243

9．3 (-1/p)与(2/p)的值245

9．4 Gauss引理247

9．5 二次互反律251

9．6 互反律的应用254

9．7 Jacobi符号256

9．8 对Diophantu方程的应用260

9．9 Gauss和与二次互反律262

9．10 二次Gauss和的互反律267

9．11 二次互反律的另一个证明274

第九章 习题275

10．1 数的次数modm，原根279

第十章 原根279

10．2 原根与简化剩余系280

10．3 对α≥3，模2α的原根不存在281

10．4 对奇素数P，模P的原根存在282

10．5 原根与二次剩余284

10．6 模pα的原根存在284

10．7 模2p2的原根存在287

10．8 其他情况下原根不存在288

10．9 模m的原根的个数289

10．10 指数的计算291

10．11 原根与Dirichlet特征296

10．12 模pα的实值Dirichlet特征299

10．13 模pα的本原Dirichlet特征300

第十章 习题302

第十一章 Dirichlet级数与Euler乘积307

11．1 引言307

11．2 Dirichlet级数绝对收敛的半平面308

11．3 由Dirichlet级数定义的函数309

11．4 Dirichlet级数的乘积312

11．5 Euler乘积314

11．6 Dirichlet级数收敛的半平面317

11．7 Dirichlet级数的解析性质320

11．8 具有非负系数的Dirichlet级数323

11．9 Dirichlet级数表示为Dirichlet级数的指数325

11．10 Dirichlet级数的平均值公式328

11．11 Dirichlet级数系数的一个积分公式331

11．12 Dirichlet级数部分和的一个积分公式332

第十一章 习题338

第十二章 函数ξ(s)与L(s，χ)343

12．1 引言343

12．2 gamma函数的性质344

12．3 Hurwitz zeta函数的积分表示345

12．4 Hurwitz zeta函数的围道积分表示348

12．5 Hurwit2 zeta函数的解析开拓351

12．6 ξ(s)与L(s，χ)的解析开拓352

12．7 ξ(s，a)的Hurwitz公式353

12．8 Riemann zeta函数的函数方程357

12．9 Hurwitz zeta函数的函数方程359

12．10 L-函数的函数方程361

12．11 求ξ(-n，a)的值364

12．12 Bernoulli数与Bernoulli多项式的性质366

12．13 L(O，χ)的公式369

12．14 用有限和逼近ξ(s，a)370

12．15 |ξ(s，a)|的不等式373

12．16 |ξ(s)|与|L(s，x)|的不等式376

第十二章 习题377

第十三章 素数定理的解析证明385

13．1 证明的方案385

13．2 引理387

13．3 ψ1(x)/x2的围道积分表示391

13．4 直线σ=1附近|ξ(s)|与|ξ′(s)|的上界394

13．5 在直线σ=1上ξ(s)不为零396

13．6 的不等式398

13．7 素数定理证明的完成400

13．8 ξ(s)的无零点区域403

13．9 Riemann假设406

13．10 对除数函数的应用407

13．11 对Euler函数的应用412

13．12 特征和的Polya不等式的推广416

第十三章 习题417

第十四章 分拆423

14．1 引言423

14．3 分拆的生成函数427

14．2 分拆的几何表示427

14．4 Euler五边形数定理431

14．5 Euler五边形数定理的组合证明435

14．6 P(n)的Euler递推公式438

14．7 P(n)的上界439

14．8 Jacobi三重积等式442

14．9 Jacobi等式的推论445

14．10 生成函数的对数微分446

14．11 Ramanujan的分拆等式449

第十四章 习题450

参考文献目录457

特殊符号索引469