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第一篇 数理逻辑1

第一章 命题演算及其形式系统1

1．1 命题与联结词1

1．1．1 命题1

1．1．2 联结词3

1．1．3 命题公式及其真值表7

1．1．4 语句的形式化9

1．2 重言式12

1．2．1 重言式概念12

1．2．2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式13

1．2．3 对偶原理17

1．3 范式20

1．3．1 析取范式和合取范式20

1．3．2 主析取范式与主合取范式22

1．3．3 联结词的扩充与归约25

1．4 命题演算形式系统29

1．4．1 证明、演绎和推理30

1．4．2 命题演算形式系统PC34

1．4．3 自然推理系统ND40

第二章 谓词演算及其形式系统48

2．1 个体、谓词和量词49

2．1．1 个体49

2．1．2 谓词49

2．1．3 量词51

2．1．4 谓词公式及语句的形式化53

2．2 谓词演算永真式59

2．2．1 谓词公式的真值规定59

2．2．2 谓词演算永真式61

2．2．3 关于永真式的几个基本原理63

2．3 谓词公式的前束范式66

2．4 一阶谓词演算形式系统68

2．4．1 一阶谓词演算形式系统FPC68

2．4．2 一阶谓词演算的自然推理系统FND73

2．4．3 含等词的一阶谓词演算自然推理系统80

第三章 消解原理85

3．1 斯柯伦标准形85

3．1．1 斯柯伦标准形85

3．1．2 子句集及其可满足性88

3．2 命题演算消解原理90

3．3．1 代换及一致化93

3．3 谓词演算消解原理93

3．3．2 谓词演算消解原理95

3．3．3 换位原理99

第二篇 集合论103

第四章 集合及其运算103

4．1 集合的基本概念104

4．1．1 集合及其元素104

4．1．2 外延公理、概括公理和正规公理106

4．1．3 子集合108

4．2．1 并、交、差、补运算111

4．2 集合运算111

4．2．2 幂集运算和广义并、交运算114

4．2．3 环和、环积运算117

4．3 集合的归纳定义及归纳法证明121

4．3．1 集合的归纳定义121

4．3．2 自然数的集合论定义123

4．3．3 归纳法证明126

第五章 关系135

5．1 有序组与集合的笛卡儿积135

5．2．1 关系的基本概念139

5．2 关系139

5．2．2 关系的基本运算143

5．2．3 关系的基本特性150

5．2．4 关系特性闭包154

5．2．5 特殊关系运算160

5．3 等价关系165

5．3．1 等价关系165

5．3．2 划分与等价关系167

5．4．1 序关系和有序集175

5．4 序关系175

5．4．2 良基性与良序集，完备序集181

5．4．3 全序集、良序集的构造184

第六章 函数190

6．1 函数及函数的合成190

6．1．1 函数的基本概念190

6．1．2 函数概念的拓广194

6．1．3 函数的合成196

6．1．4 函数的递归定义198

6．2 特殊函数类203

6．2．1 单射的、满射的和双射的函数203

6．2．2 规范映射、单调映射和连续映射206

6．3 函数的逆211

6．4 函数、谓词、集合216

第七章 基数221

7．1 有限集和无限集221

7．1．1 有限集、可数集与不可数集221

7．1．2 无限集的特性227

7．2 基数229

7．2．1 有限集、可数无限集和连续统的基数229

7．2．2 基数比较231

7．2．3 基数算术236

第三篇 图论245

第八章 图245

8．1 图的基本知识245

8．1．1 图的定义及有关术语245

8．1．2 结点的度249

8．1．3 图运算及图同构251

8．2 路径、回路及连通性258

8．2．2 连通性260

8．2．3 连通度264

8．2．1 路径与回路268

8．3 欧拉图与哈密顿图270

8．3．1 欧拉图与欧拉路径270

8．3．2 哈密顿图及哈密顿通路272

8．4 图的矩阵表示279

8．4．1 关联矩阵279

8．4．2 邻接矩阵281

8．4．3 路径矩阵与可达性矩阵284

9．1 二分图288

9．1．1 二分图的基本概念288

第九章 特殊图288

9．1．2 匹配290

9．2 平面图297

9．2．1 平面图的基本概念297

9．2．2 欧拉公式和库拉托夫斯基定理299

9．2．3 着色问题304

9．3 树308

9．3．1 树的基本概念308

9．3．2 生成树311

9．3．3 根树316

10．1．1 代数结构的意义329

10．1 代数结构329

第四篇 抽象代数329

第十章 代数结构通论329

10．1．2 代数结构的特殊元素331

10．1．3 子代数结构336

10．2 同态、同构及同余339

10．2．1 同态与同构339

10．2．2 同余关系344

10．3 商代数与积代数349

10．3．1 商代数349

10．3．2 积代数353

11．1．1 半群及独异点356

第十一章 群、环、域356

11．1 半群356

11．1．2 自由独异点357

11．1．3 商半群及高斯半群359

11．2 群364

11．2．1 群及其基本性质364

11．2．2 子群、陪集和拉格朗日定理368

11．2．3 正规子群、商群和同态基本定理371

11．3．1 循环群376

11．3 循环群和置换群376

11．3．2 置换群378

11．4 环384

11．4．1 环和整环384

11．4．2 子环和理想387

11．4．3 多项式环390

11．5 域399

11．5．1 域和子域399

11．5．2 有限域403

12．1．1 格——有序集412

第十二章 格与布尔代数412

12．1 格412

12．1．2 格代数416

12．1．3 分配格和模格421

12．2 布尔代数427

12．2．1 有界格和有补格427

12．2．2 布尔代数429

12．2．3 布尔代数的表示定理433

12．2．4 布尔表达式与布尔函数438