《解析函数论》

第1章柯西积分1

1.1 引言1

1.2 柯西定理和柯西积分公式4

1.3 奇点：留数定理8

1.4 无穷远点13

1.5 柯西主值16

1.6 黎曼－斯蒂捷积分：δ函数21

1.7 普利麦吉公式25

1.8 通过无穷远点的周线27

1.9 反演公式：庞加莱－伯特兰公式30

1.10 周线上的奇点35

第2章势论的基本问题38

2.1 狄利克雷问题和诺伊曼问题38

2.2 对于圆的基本问题的解41

2.3 反射原理46

2.4 对无限长带的基本问题的解48

2.5 带的简单混合边界条件53

2.6 周期边界条件56

2.7 无限长带的周期边界条件61

2.8 对于矩形的基本问题的解66

2.9 狄利克雷问题解的唯一性69

2.10 将狄利克雷问题简化为一个积分方程73

2.11 格林函数79

第3章保角映射85

3.1 一般原理85

3.2 许瓦尔兹－克里斯托弗尔映射定理90

3.3 映射成上半平面的积分方程97

3.4 许瓦尔兹－克里斯托弗尔映射定理的推广100

3.5 近似于圆的区域的映射106

3.6 双连通区域的映射110

3.7 格林函数与保角映射112

3.8 核函数116

3.9 映射和流体动力学119

3.10 保角映射的实用方法122

第4章希尔伯特问题及应用123

4.1 希尔伯特问题123

4.2 单连通区域的黎曼－希尔伯特问题127

4.3 黎曼－希尔伯特问题的另一种解法133

4.4 带有不连续系数的黎曼－希尔伯特问题136

4.5 弧的反演公式142

4.6 奇异积分方程144

4.7 庞加莱问题151

4.8 威纳－霍普夫方法154

参考文献160